Distribuição da média amostral

Nesta seção serão apresentados resultados da Teoria Estatística, usados na construção de intervalos de confiança.

São três os resultados a serem apresentados:

1. a fórmula do desvio-padrão da média,
2. a distribuição da média amostral e
3. sua distribuição padronizada pelo desvio-padrão.

Consideremos que a variável aleatória nível de hemoglobina em mulheres jovens e sadias tenha distribuição gaussiana com média 12 e desvio-padrão 1.

Vamos tirar sucessivas amostras de tamanho 6 desta população e para cada amostra, calcular sua média.

Para 50 repetições, obtivemos os resultados da Tabela 23.

Tabela 23: Amostras de tamanho 6 e suas médias

Amostra	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	Média
1	11,7	11,3	11,3	11,8	11,7	12,7	11,8
2	12,9	12,5	9,9	11,7	12,9	12,3	12,0
3	12,3	13,5	12,8	12,6	10,9	12,8	12,5
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
50	11,2	11,4	12,1	13,4	11,9	11,5	11,9
						Média	12,072
						desvio-padrão	0,359

Resultados:

1. O desvio-padrão da média é dado pelo desvio-padrão da população dividido por $\sqrt{n}$, ou seja, $\sigma_{\bar{x}}=\sigma/\sqrt{n}$;

   Neste exemplo, deveríamos obter $\frac{1}{\sqrt{6}}=0,41$. A diferença entre o valor teórico e o valor observado 0,359 advém do fato de estarmos usando uma amostra das médias.

2. O Teorema Central do Limite, diz que a média tem aproximadamente distribuição gaussiana centrada na média da população e desvio-padrão dado por $\sigma_{\bar{x}}=\sigma/\sqrt{n}$, isto é,
   $$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma/\sqrt{n})$$

3. O terceiro resultado é devido a W. Gosset que descobriu, que a razão
   $$T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$$
   tem distribuição que não depende de $\mu$ e $\sigma^2$, mas apenas do tamanho da amostra (a distribuição $t$ de Student).