====== A joint model proposal???? ======
  - {{artigos:ernesto3:joint.rnw|Arquivo Sweave com o modelo proposto}}

===== Ideias for simulation and model =====
Ao olhar as simulacoes e a descrio de como eram feitas que vc me fez eu sempre achei muito complicado de explicar de forma breve e facil de entender.
Resolvi entao pensar em uma outra forma mais direta de ferar simulacoes relacionando as proporcoes com a abundancia.

Tive entao a ideia de fazer segundo um modelo onde poderiamos controlar por parametros o que desejamos.
Veja o seguinte e me diga o que acha:

1. Simular Y que representa a abundancia total

Daqui para frente seguem duas sequencias de possiveis procedimentos:

A. proporções como funções perfeitas de Y
  A.2. Obter
        p1 <- exp(1*Y)/(1+exp(1*Y))
  A.3  Obter
        p2 <- exp(0.5*Y)/(1+0.5*Y)
  A.4  Obter
        p3 <- 2 - p1 - p2
  A.5  Transformar p1, p2 e p3 em composicoes dovidindo cada um pela soma
       de todos eles

Neste caso note que p1  mais relacionado com Y, p2  menos varivel
e p3 tem uma correlacao negativa com estes.

Poderia-se ainda somar (subtrair uma constante para forcar proporcoes mais
altas ou baixas)

Para intuicao sobre os valores veja:
<code R>
 y <- grf(100, cov.pars=c(1, .25))$data
 p1 <- exp(y)/(1+exp(y))
 range(p1)
[1] 0.1567524 0.8486654
 p2 <- exp(0.5*y)/(1+exp(0.5*y))
 range(p2)
[1] 0.3012618 0.7030963
 p2 <- exp(1+0.5*y)/(1+exp(1+0.5*y))
 range(p2)
[1] 0.5395928 0.8655399
 range(p1+p2)
[1] 0.6963451 1.7142053
 p3 <- 2 - p1 - p2
 pt <- p1+p2+p3
 p1 <- p1/pt; p2 <- p2/pt; p3 <- p3/pt
 plot(cbind(p1,p2,p3))
</code>

A de forrma geral transformacao e' dada por
<latex>p_i = exp(\beta_0 + \beta_1 Y)/(1 +  exp(\beta_0 + \beta_1 Y))</latex>

e os valores de <latex>beta_0</latex> e <latex>beta_1</latex> controlam o comportamento e com isto poderia-se escolher qual a calsse a ser representada por cada um deles.

B. Semelhante a anterior porem adicionando uma aleatoriedade nas proporcoes
 B.2. Obter como anterior porem adicionando um "ruido", trocando Y no algoritmo anterior por    
<code R>
Y + rnorm(length(y), m=0, sd=0.1)
</code>

Depois  fazer o mesmo para p2 e o resto fica como no algortmo anterior

E..... acho que acabo de inventar um novo modelo para modelagem conjunta!!!!!


Comentário adicional: para fechar o modelo seria bom que os p's já fosse gerados de forma a somar 1 sem a necessidade de "padronizar". Imagino que deve ser possível impor uma restrição nos coeficientes <latex>\beta</latex> para garantir isto.\\
Uma outra possibilidade é dividir as probs p1 e p2 por 2 e com isto garantir qq beta ser válido -- ver os efeitos disto pois coloca um limite de 0.5 em p1 e p2 o que pode nao ser uma boa ideia...

Em uma ou outra situação ainda nao está claro como gerar uma situação onde uma das classes possa ter quase 100%  -- talvez pensar em algo como multiplicar as proporcoes ou na escala LRT

//**pensando melhor...**//
pensando melhor no que escrevi antes acho que me empolguei meio rápido demais:
  - p3 precisa ser calculado associado aos betas tb caso contrário se for feito por diferenca como propus inicialmente composicoes (p1 e p2) que ficam restritas a serem menores que 0.5. Com isto acho que o modelo  válido
  - me parece ainda que uma outra idéia para gerar associação estava bem na nossa frente e nao percebemos: usar o  modelo multinomial com a abundância como covárivel!!! - no paper isto pode ter certa vantagem por unificar com o diagnóstico que utilizamos. Seria bom fazer umas simu;ação [para ver as situações geradas.

===== Alternativa usando CDA =====

<code R>
require(lattice)
require(MASS)
require(geoR)

gs <- expand.grid((0:10)/10, (0:10)/10)
 
# basic gaussians to be used posteriorly 
s2 <- 0.5
Sig <- diag(c(1,1,1,1,1))
Sig[1,4] <- 0.9
Sig[4,1] <- 0.9
Sig <- Sig*s2
Sig
m0 <- mvrnorm(nrow(gs), c(2,0,0,0,0), Sig)
plot(as.data.frame(m0))
cor(m0)

# Generate a spatial Gaussian process Y
phi <- 0.25
sigmasq <- 1
Y <- grf(grid=gs, cov.pars=c(sigmasq, phi))
Y$data <- exp(m0[,1]+Y$data)
var(log(Y$data))

## option 1: age compositions independent from Y
# Generate age compositions independent from Y
comp.1 <- t(apply(cbind(exp(m0[,c(2,3)]),1),1,function(x) x/sum(x)))
dim(comp.1)
apply(comp.1, 2, range)
cor(cbind(comp.1, log(Y$data)))
plot(as.data.frame(cbind(comp.1, log(Y$data))))

lr.1 <- data.frame(lr13 = log(comp.1[,1]/comp.1[,3]), lr23 = log(comp.1[,2]/comp.1[,3]), Y=log(Y$data))
cor(lr.1)
cor(lr.1, met="spea")
plot(lr.1)


# Build abundance at age 
Yi.1 <- comp.1*Y$data 
dim(Yi.1)
cor(cbind(Yi.1, log(Y$data)))
plot(as.data.frame(cbind(Yi.1, log(Y$data))))

## option 2: age compositions dependent from Y
# Generate age compositions dependent from Y
comp.2 <- t(apply(cbind(exp(m0[,c(3,4)]),1),1,function(x) x/sum(x)))
apply(comp.1, 2, range)
cor(cbind(comp.2, log(Y$data)))
cor(cbind(comp.2, log(Y$data)), met="spea")
plot(as.data.frame(cbind(comp.2, log(Y$data))))

lr.2 <- data.frame(lr13 = log(comp.2[,1]/comp.2[,3]), lr23 = log(comp.2[,2]/comp.2[,3]), Y=log(Y$data))
cor(lr.2)
cor(lr.2, met="spea")
plot(lr.2)

lr.2a <- data.frame(lr12 = log(comp.2[,1]/comp.2[,2]), lr32 = log(comp.2[,3]/comp.2[,2]), Y=log(Y$data))
cor(lr.2a)
cor(lr.2a, met="spea")
plot(lr.2a)

# Build abundance at age 
Yi.2 <- comp.2*Y$data 
dim(Yi.2)
cor(cbind(Yi.2, log(Y$data)))
plot(as.data.frame(cbind(Yi.2, log(Y$data))))
 
df0 <- data.frame(abund=c(Yi.1,Yi.2), comp=c(comp.1,comp.2),Y=Y$data, opt=rep(c("indep","dep"),
                  rep(length(comp.1),2)), age=rep(rep(c(1,2,3),2),rep(length(comp.1)/3,6)))
 
# plots
xyplot(comp~log(Y)|age*opt,data=df0)
xyplot(abund~Y|age*opt,data=df0)
plot(as.geodata(Y))
</code>

O problema que temos nestes casos em que simulamos Y e depois obtemos Yi por Y*pi é que a estrutura espacial dos Yi vai ser exactamente a mesma. Se acrescentarmos variabilidade com estrutura espacial temos que recalcular os pi ...

PJ: De fato mas para fazer diferente teria que simular de outra forma pois aqui só tem um Y geoestatistico gerado. O modelo multivariado  conjunto para os LR seria a alternativa. Por outro lado eu nao vejo muito problema nesta fato pois as correlacoes entra as composicoes de certa forma tratam isto.