\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\documentclass{abnt}
%\usepackage[utf8]{inputenc}  % Codificação dos caracteres: UTF-8 (universal),  acentua dentro do chunk
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Codificação dos caracteres: UTF-8 (universal),  acentua dentro do chunk
%usepackage[normalem]{ulem}  \uwave{x} % vetor x com til em baixo
 
%--------Pacotes para português
\usepackage[brazil,brazilian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
%\usepackage{setspace}

%--------Pacotes para Bibliografia-----
%\usepackage{abnt-alf}
%\usepackage[alf]{abntcite}

%--------Pacotes de uso geral----------
\usepackage{graphicx} % inclui gráfico no texto (EPS, PS)
%\usepackage{pgf}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[all]{xy} %pacote necessário para a figura 1 - isotropia
\usepackage{lscape} %pacote para o cronograma em forma paisagem
%\usepackage{rotating}
%\usepackage{subeqnarray} % pacote necessário para enumerar duas equações dentro do eqnarray e depois referenciá-las
\usepackage{float}     %o package float que disponibiliza a opção H - coloca a imagem MESMO ali!
%\usepackage{placeins} % ajusta a posição das figuras e tabelas na pagina certa
 
%--------Espaço entre linhas-------------
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 

%--------Formato da página-------
%\setlength{\parindent}{1.5cm} % Identação da primeira linha do parágrafo
%\setlength{\mathindent}{1cm}  % DEU ERRO!!!!!!!!!!!!!
%\raggedbottom  % avoid vertical fitting

%--------Tamanho da página-------
%\usepackage[a4paper,top=3cm,left=3cm,right=2cm,bottom=2cm, includeheadfoot, headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
%\usepackage[a4paper,text={19cm, 25cm},top=2cm,left=2cm,right=1.5cm,includeheadfoot,headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
\usepackage[a4paper,top=1cm,left=2cm,right=2cm,includeheadfoot,headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
%\setlength\topmargin{1cm}
%\setlength\headheight{0cm}
%\setlength\headsep{0in}
%\setlength\textheight{24cm}
%\setlength\textwidth{15cm}
%\setlength\oddsidemargin{1cm}
%\setlength\evensidemargin{1cm}
%\setlength\parindent{0cm}
%\setlength\parskip{0.3cm} 

\sloppy % arruma a separação de silabas do fim da linha

%--------Pacote para Sweave--------
%\usepackage{/usr/share/R/share/texmf/Sweave}
%\usepackage{Sweave}


\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\Large Exercícios 1}\\
%Paulo Justiniano Ribeiro Junior - LEG/UFPR\\
\end{center}

\begin{enumerate}
\item O rendimento, $X_i$, de um campo $i$ de trigo é considerado como sendo normalmente distribuído com média $\theta z_i$ onde $z_i$ é uma quantidade conhecida de fertilizante aplicado no campo (para um novo campo a quantidade de fertilizante pode ser escolhida, mas o rendimento é aleatório para uma dada quantidade de fertilizante). Presumindo-se que os rendimentos em diferentes campos são independentes (mas não identicamente distribuídas como mudanças no rendimento com a quantidade de fertilizante usada) uns dos outros. Estima-se que o rendimento para uma proporção de fertilizante, isto é, a estimativa de $\theta$.
Especificamente, $X_1$ $, ...,$ $X_n$ são variáveis aleatórias independentes com distribuição
\begin{center}
 $X_i{\sim} N$($\theta$ x $Z_i, 1$)
\end{center}
para $i = 1, ...,n$, onde $z_1, ..., z_n$ são conhecidos (possivelmente diferentes) constantes positivas.
  \begin{enumerate}
  \item Encontre $\hat{\theta}$.
  \item Mostre que $\hat{\theta}$ é um estimador não viesado, isto é, $E(\hat{\theta})=\theta$ (lembre-se que os valores de $z_i$ são constantes).

  \textbf{Verifique suas respostas pegando $z_i = 1$ para $i=1, ...,n$. }
    \end{enumerate}
\item Suponha que o rendimento tenha a seguinte propriedade, $X_1, ..., X_n$ são variáveis aleatórias independentes com distribuição 

\begin{center}
$X_i{\sim} N(\theta \mbox{ x } Z_i, Z{_i}^2)$ 
\end{center}
para $i = 1, ...,n$, onde $z_i, ..., z_n$ são conhecidos constantes positivas.
Encontre $\hat{\theta}l$, $\hat{\theta}$ e $\hat{\theta}u$ com $c^*=3,84$.
\item Explique em palavras por que $\hat{\theta}$ é diferente nas questões 2 e 3.

        \end{enumerate}

\end{document}