\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%\documentclass{abnt}
%\usepackage[utf8]{inputenc}  % Codificação dos caracteres: UTF-8 (universal),  acentua dentro do chunk
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Codificação dos caracteres: UTF-8 (universal),  acentua dentro do chunk
%usepackage[normalem]{ulem}  \uwave{x} % vetor x com til em baixo
 
%--------Pacotes para português
\usepackage[brazil,brazilian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
%\usepackage{setspace}

%--------Pacotes para Bibliografia-----
%\usepackage{abnt-alf}
%\usepackage[alf]{abntcite}

%--------Pacotes de uso geral----------
\usepackage{graphicx} % inclui gráfico no texto (EPS, PS)
%\usepackage{pgf}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[all]{xy} %pacote necessário para a figura 1 - isotropia
\usepackage{lscape} %pacote para o cronograma em forma paisagem
%\usepackage{rotating}
%\usepackage{subeqnarray} % pacote necessário para enumerar duas equações dentro do eqnarray e depois referenciá-las
\usepackage{float}     %o package float que disponibiliza a opção H - coloca a imagem MESMO ali!
%\usepackage{placeins} % ajusta a posição das figuras e tabelas na pagina certa
 
%--------Espaço entre linhas-------------
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 

%--------Formato da página-------
%\setlength{\parindent}{1.5cm} % Identação da primeira linha do parágrafo
%\setlength{\mathindent}{1cm}  % DEU ERRO!!!!!!!!!!!!!
%\raggedbottom  % avoid vertical fitting

%--------Tamanho da página-------
%\usepackage[a4paper,top=3cm,left=3cm,right=2cm,bottom=2cm, includeheadfoot, headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
%\usepackage[a4paper,text={19cm, 25cm},top=2cm,left=2cm,right=1.5cm,includeheadfoot,headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
\usepackage[a4paper,top=1cm,left=2cm,right=2cm,includeheadfoot,headheight=0cm]{geometry} % define tamanho da página
%\setlength\topmargin{1cm}
%\setlength\headheight{0cm}
%\setlength\headsep{0in}
%\setlength\textheight{24cm}
%\setlength\textwidth{15cm}
%\setlength\oddsidemargin{1cm}
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%\setlength\parindent{0cm}
%\setlength\parskip{0.3cm} 

\sloppy % arruma a separação de silabas do fim da linha

%--------Pacote para Sweave--------
%\usepackage{/usr/share/R/share/texmf/Sweave}
%\usepackage{Sweave}


\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\Large Exercícios 2}\\
%Paulo Justiniano Ribeiro Junior - LEG/UFPR\\
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Nós temos medidas das cinturas de pessoas e desejamos fazer inferência sobre a cintura média da população e a cintura crítica que é somente excedida por 5\% da população. Utilize $X_1, ..., X_n$ para denotar as medidas das cinturas as suponha i.i.d. $N(\theta, {\sigma}^2)$ variáveis aleatórias, onde $\theta$ é desconhecida e $\sigma$ é conhecida. Suponha que $\psi$ é o valor crítico para o tamanho da cintura. Encontre:
  \begin{enumerate}
  \item $\hat{\theta}$ e o intervalo de 95\% de confiança para $\theta$.
  \item o estimador de máxima verossimilhança para $\psi$.
  \item o intervalo de 95\% de confiança para $\psi$.

      \end{enumerate}

\item O número de atrasos nos trens para Lancaster por semana pode ser descrito por uma série de Poisson ($\theta$) i.i.d. variáveis aleatórias $X_1, ..., X_n$ para $n$ semanas. Suponha que a média, $\theta$, é um parâmetro desconhecido. Encontre
  \begin{enumerate}
  \item o estimador de máxima verossimilhança de $\theta$.
  \item as informações observadas e esperadas para $\theta$.
  \item o limite inferior de Cramér-Rao para estimativas não viesadas de $\theta$.
  \item o limite inferior de Cramér-Rao para estimativas não viesadas da probabilidade que nesta semana não atrasarão os trens.
      \end{enumerate}
\item Segurança nuclear (ou a falta dela!)

\textsl{Nature} em 1986 publicou um número de artigos sobre estimativas da probabilidade de não ocorrer acidentes nucleares nos próximos 10 anos (isto é, entre 1987-1997). Até 1986, reatores nucleares mundiais tem realizado 4000 operações por ano (400 reatores estão em operação para 10 anos cada. Neste período ocorreram dois acidentes nucleares (Three Mile Island e Cheernobyl). Um modelo estatístico natural para o número, $N$, de acidentes em $T$ reatores por ano é

\begin{center}

	N\sim Poisson (rT)
	
\end{center}

	onde $r$ é um parâmetro desconhecido correspondendo a taxa reator por ano que ocorre acidente.
  \begin{enumerate}
  \item Derive a função log-verossimilhança para $r$ e dê $\hat{r}$.
	Nestes 10 anos de 1987 a 1997, 3740 reatores foram planejados por ano. Considere $\psi$ sendo a probabilidade que não ocorrerão acidentes no período de 10 anos. Encontre
  \item o estimador de máxima verossimilhança de $\psi$.

      \end{enumerate}

         \end{enumerate}

\end{document}