Universidade Federal do Paraná Prof. Fernando de Pol Mayer
Curso de Graduação em Estatística Lab. de Estatística e Geoinformação - LEG
Departamento de Estatística - UFPR
Revisão de conceitos de planejamento de experimentos.
Em qualquer investigação científica, o procedimento geral é o de formular hipóteses e verificá-las diretamente ou por meio de consequências.
As hipóteses são testadas por meios de métodos de análise estatística, que dependem do modo como as observações foram obtidas. Por isso é importante o planejamento de experimentos.
O que nos obriga a utilizar análises estatísticas para testar hipóteses é a presença de efeitos de fatores não controlados que causam variação. Estes efeitos podem ou não serem controlados. Exemplos: difernças de fertilidade do solo, espaçamento nas plantações, variação genética, etc.
Estes efeitos não podem ser conhecidos individualmente, e tendem a mascarar o efeito do tratamento em estudo. O conjunto dos efeitos dos fatores não controlados é denominado variação ao acaso ou variação aleatória.
## Fator com 3 níveis e 4 repetições
fator <- factor(rep(c("A", "B", "C"), each = 4))
## Cria a matriz do modelo sem nenhuma restrição
X <- matrix(0, nrow = 12, ncol = 3)
X[cbind(seq_along(fator), fator)] <- 1
(X <- cbind(1, X))
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 1 0 0
[2,] 1 1 0 0
[3,] 1 1 0 0
[4,] 1 1 0 0
[5,] 1 0 1 0
[6,] 1 0 1 0
[7,] 1 0 1 0
[8,] 1 0 1 0
[9,] 1 0 0 1
[10,] 1 0 0 1
[11,] 1 0 0 1
[12,] 1 0 0 1
## X'
Xt <- t(X)
## X'X
(Xt %*% X)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 12 4 4 4
[2,] 4 4 0 0
[3,] 4 0 4 0
[4,] 4 0 0 4
## (X'X)^-1
solve(Xt %*% X)
Error in solve.default(Xt %*% X): system is computationally singular: reciprocal condition number = 1.38778e-17
## Impondo uma restrição: remove a coluna do primeiro nível -
## equivalente a zerar o primeiro nível do fator
(X <- X[, -2])
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 0 0
[2,] 1 0 0
[3,] 1 0 0
[4,] 1 0 0
[5,] 1 1 0
[6,] 1 1 0
[7,] 1 1 0
[8,] 1 1 0
[9,] 1 0 1
[10,] 1 0 1
[11,] 1 0 1
[12,] 1 0 1
## X'
Xt <- t(X)
## X'X
Xt %*% X
[,1] [,2] [,3]
[1,] 12 4 4
[2,] 4 4 0
[3,] 4 0 4
## (X'X)^-1
solve(Xt %*% X)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.25 -0.25 -0.25
[2,] -0.25 0.50 0.25
[3,] -0.25 0.25 0.50