Neste capítulo, discutimos uma classe importante de copulas conhecidas como copulas arquimedianas. Essas copulas encontram uma ampla gama de aplicações por uma série de razões:

  1. a facilidade com que podem ser construídas;

  2. a grande variedade de famílias de copulas que pertencem a essa classe; e

  3. as muitas propriedades interessantes possuídas pelos membros dessa classe.

As copulas arquimedianas apareceram originalmente não em estatística, mas sim no estudo de espaços métricos probabilísticos, onde foram estudadas como parte do desenvolvimento de uma versão probabilística da desigualdade triangular. Para um relato dessa história, veja Schweizer (1991) e as referências citadas nele.


3.1. Definições


Sejam \(X\) e \(Y\) variáveis aleatórias contínuas com função de distribuição conjunta \(H\) e funções de distribuição marginais \(F\) e \(G\), respectivamente. Quando \(X\) e \(Y\) são independentes, \[ H(x,y) = F(x)G(y) \] para todo \(x,y\) em \(\overline{\bf R}\) e esta é a única instância em que a função de distribuição conjunta fatora em um produto de uma função de \(F\) e uma função de \(G\).

Mas no capítulo anterior vimos casos em que uma função de \(H\) de fato fatora em um produto de uma função de \(F\) e uma função de \(G\). Em (2.31) da Seção 2.3.2, observamos que as funções de distribuição conjunta e marginal para membros da família Ali-Mikhail-Haq satisfazem a relação \[ \dfrac{1-H(x,y)}{H(x,y)}=\dfrac{1-F(x)}{F(x)}+\dfrac{1-G(y)}{G(y)}+(1-\theta)\dfrac{1-F(x)}{F(x)}\times \dfrac{1-G(y)}{G(y)}\cdot \]

Com um pouco de álgebra, isso pode ser reescrito como \[ 1+(1-\theta)\dfrac{1-H(x,y)}{H(x,y)}=\left(1+(1-\theta)\dfrac{1-F(x)}{F(x)} \right)\times \left(1+(1-\theta)\dfrac{1-G(y)}{G(y)} \right), \] isto é, \(\lambda\big( H(x,y)\big)=\lambda\big(F(x)\big)\lambda\big(G(y)\big)\), onde \(\lambda(t)=1+(1-\theta)(1-t)/t\).

Equivalentemente, sempre que podemos escrever \[ \lambda\big( H(x,y)\big)=\lambda\big(F(x)\big)\lambda\big(G(y)\big) \] para uma função \(\lambda\), que deve ser positiva no intervala (0,1), então ao definir \(\varphi(t) = –\ln\big(\lambda(t)\big)\), também podemos escrever \(H\) como uma soma de funções das marginais \(F\) e \(G\), ou seja, \[ \varphi\big( H(x,y)\big)=\varphi\big(F(x)\big)\varphi\big(G(y)\big), \] ou para copulas, \[ \tag{3.1} \varphi\big(C(u,\nu)\big)=\varphi(u)+\varphi(\nu)\cdot \]


Exemplo 3.1:

A copula \(\widehat{C}_\theta\) dada no Exemplo 1.14 satisfaz (3.1) com \(\varphi(t) = t^{-1/\theta}-1\). A copula \(C_\theta\) do Exercício 13 satisfaz (3.1) com \[ \varphi(t)=\big(-\ln(t) \big)^\theta\cdot \]


Como estamos interessados em expressões que podemos usar para a construção de copulas, queremos resolver a relação \[ \varphi\big(C(u,\nu)\big)=\varphi(u)+\varphi(\nu), \] para \(C(u,\nu)\), ou seja, \(C(u,\nu) = \varphi^{(-1)}\big(\varphi(u)+\varphi(\nu)\big)\) para um “inverso” apropriadamente definido \(\varphi^{(-1)}\). Isso pode ser feito da seguinte form.


Definição 3.1.

Seja \(\varphi \, : \, {\bf I}\to [0,+\infty]\), uma função contínua, estritamente decrescente tal que \(\varphi(1) = 0\). A pseudo-inversa de \(\varphi\) é a função \(\varphi^{(-1)}\) com \[ \mbox{Dom}\big(\varphi^{(-1)}\big) = [0,+\infty] \qquad \mbox{e} \qquad \mbox{Img}\big(\varphi^{(-1)}\big) = {\bf I} \] dada por \[ \tag{3.2} \varphi^{(-1)}(t)=\left\{ \begin{array}{ccl} \varphi^{-1}(t), & \mbox{caso} & 0\leq t\leq \varphi(0)\\[0.8em] 0, & \mbox{caso} & \varphi(0)\leq t\leq \infty \end{array}\right.\cdot \]


Observe que \(\varphi^{(-1)}\) é contínua e não crescente em \([0,+\infty]\) e estritamente decrescente em \([0,\varphi(0)]\). Além disso, \(\varphi^{(-1)}\big(\varphi(u)\big)=u\) em \({\bf I}\) e \[ \varphi\left(\varphi^{(-1)}(t)\right)=\left\{ \begin{array}{ccl} t, & \mbox{caso} & 0\leq t\leq \varphi(0)\\[0.8em] \varphi(0), & \mbox{caso} & \varphi(0)\leq t\leq \infty \end{array}\right.=\min\big\{t,\varphi(0)\big\}\cdot \] Finalmente, se \(\varphi(0)=\infty\) então \(\varphi^{(-1)}=\varphi^{-1}\).


Lema 3.1

Seja \(\varphi\) uma função contínua, estritamente decrescente de \({\bf I}\) a \([0,+\infty]\) tal que \(\varphi(1) = 0\), e seja \(\varphi^{(-1)}\) a pseudo-inversa de \(\varphi\) definido por (3.2). Seja \(C\) a função de \({\bf I}^2\) a \({\bf I}\) dada por \[ \tag{3.3} C(u,\nu)=\varphi^{(-1)}\big(\varphi(u)+\varphi(\nu)\big)\cdot \] Então \(C\) satisfaz as condições de contorno (1.3) e (1.4) para uma copula.


Demonstração.

\(C(u,0)=\varphi^{(-1)}\big(\varphi(u)+\varphi(0)\big)=0\) e \(C(u,1)=\varphi^{(-1)}\big(\varphi(u)+\varphi(1)\big)=\varphi^{(-1)}\big(\varphi(u)\big)=u\). Pela simetria, \(C(0,\nu)=0\) e \(C(1,\nu)=\nu\).


No lema seguinte, obtemos uma condição necessária e suficiente para que a função \(C\) em (3.3) seja 2-crescente.


Lema 3.2

Sejam \(\varphi\), \(\varphi^{(-1)}\) e \(C\) satisfazendo as hipóteses do Lema 3.1. Então \(C\) é 2-crescente se, e somente se, para todo \(\nu\in{\bf I}\), sempre que \(u_1\leq u_2\) \[ \tag{3.4} C(u_2,\nu)-C(u_1,\nu)\leq u_2-u_1\cdot \]


Demonstração.

Como (3.4) é equivalente a \(V_C\big([u_1,u_2]\times [\nu,1]\big)\geq 0\), ele é válido sempre que \(C\) for 2-crescente. Portanto, suponha que \(C\) satisfaça (3.4). Escolha \(\nu_1,\nu_2\in{\bf I}\) tal que \(\nu_1\leq \nu_2\) e observe que \(C(0,\nu_2) = 0\leq \nu_1 \leq \nu_2 = C(1,\nu_2)\). Mas \(C\) é contínua, porque \(\varphi\) e \(\varphi^{(-1)}\) são, e \[ \begin{array}{rcl} C(u_2,\nu_1)-C(u_1,\nu_1) & = & \varphi^{(-1)}\big(\varphi(u_2)+\varphi(\nu_1)\big)-\varphi^{(-1)}\big(\varphi(u_1)+\varphi(\nu_1)\big) \\[0.8em] & = & \varphi^{(-1)}\big(\varphi(u_2)+\varphi(\nu_2)+\varphi(t)\big)-\varphi^{(-1)}\big(\varphi(u_1)+\varphi(\nu_2)+\varphi(t)\big)\\[0.8em] & = & C\big( C(u_2,\nu_2),t\big)-C\big( C(u_1,\nu_2),t\big) \leq C(u_2,\nu_2)-C(u_1,\nu_2), \end{array} \] de modo que \(C\) é 2-crescente.


Agora estamos prontos para declarar e provar o resultado principal desta seção.


Teorema 3.1

Seja \(\varphi \, : \, {\bf I}\to[0,+\infty]\) uma função contínua, estritamente decrescente tal que \(\varphi(1) = 0\) e seja \(\varphi^{(-1)}\) a pseudo-inversa de \(\varphi\) definida por (3.2). Então a função \(C\) de \({\bf I}^2\) a \({\bf I}\) dada por (3.3) é uma copula se, e somente se, \(\varphi\) for convexa.


Demonstração.

(Alsina, Frank, and Schweizer 2006). Foi mostramos que \(C\) satisfaz as condições de contorno para uma copula e, como consequência do lema anterior, precisamos apenas provar que (3.4) é válido se, e somente se, \(\varphi\) for convexa, note que \(\varphi\) é convexa se, e somente se, \(\varphi^{(-1)}\) for convexa. Observe que (3.4) é equivalente a \[ u_1+\varphi^{(-1)}\big(\varphi(u_2)+\varphi(\nu)\big)\leq u_2+ \varphi^{(-1)}\big(\varphi(u_1)+\varphi(\nu_1)\big) \] para \(u_1\leq u_2\), de modo que se definirmos \(a = \varphi(u_1)\), \(b = \varphi(u_2)\) e \(c = \varphi(\nu)\), então (3.4) é equivalente a \[ \tag{3.5} \varphi^{(-1)}(a)+\varphi^{(-1)}(b+c)\leq \varphi^{(-1)}(b)+\varphi^{(-1)}(a+c), \] onde \(a\geq b\) e \(c\geq 0\). Agora, suponha (3.4) válido, isto é, suponha que \(\varphi^{(-1)}\) satisfaça (3.5). Escolha quaisquer \(s,t\in [0,+\infty]\) tais que \(0\leq s < t\). Se definirmos \(a = ( s + t)/2\) , \(b = s\) e \(c = ( t - s)/ 2\) em (3.5), temos \[ \tag{3.6} \varphi^{(-1)}\left( \dfrac{s+t}{2}\right)\leq \dfrac{\varphi^{(-1)}(s)+\varphi^{(-1)}(t)}{2}\cdot \] Assim, \(\varphi^{(-1)}\) é média-convexa e, como \(\varphi^{(-1)}\) é contínua, segue-se que \(\varphi^{(-1)}\) é convexa. Na outra direção, suponha que \(\varphi^{(-1)}\) seja convexa. Fixe \(a\), \(b\) e \(c\) em \({\bf I}\) tais que \(a\geq b\) e \(c\geq 0\); e seja \(\gamma = ( a - b)/( a - b + c )\). Agora \(a = (1-\gamma )b + \gamma( a + c )\) e \(b + c = \gamma b + (1-\gamma )( a + c )\) e, portanto, \[ \varphi^{(-1)}(a)\leq (1-\gamma)\varphi^{(-1)}(b)+\gamma \varphi^{(-1)}(a+c) \] e \[ \varphi^{(-1)}(b+c)\leq \gamma\varphi^{(-1)}(b)+(1-\gamma) \varphi^{(-1)}(a+c)\cdot \] A adição dessas desigualdades produz (3.5), que completa a prova.


Copulas da forma (3.3) são chamadas de copulas arquimedianas, o significado do termo “arquimediano” será explicado na Seção 3.3. A função \(\varphi\) é chamada de geradora da copula. Se \(\varphi(0) =\infty\), dizemos que \(\varphi\) é uma geradora estrita. Neste caso, \(\varphi^{(-1)}= \varphi^{-1}\) e \[ C(u,\nu) = \varphi^{(-1)}\big(\varphi(u)+\varphi(\nu)\big) \] é considerada uma copula arquimediana estrita. A Figura 3.1 ilustra geradores e seus quase-inversos nos casos estritos e não estritos.

Figura 3.1. Geradores e inversos estritos (a) e não estritos (b).

Para ser preciso, a função \(\varphi\) é uma geradora aditiva de \(C\). Se definirmos \(\lambda(t) = \exp\big(–\varphi(t)\big)\) e \(\lambda^{(-1)}(t) = \varphi^{(-1)}\big(–\ln(t)\big)\), então \[ C(u,\nu) = \lambda^{(-1)}\big(\lambda(u)\lambda(\nu)\big), \] de modo que \(\lambda\) é uma geradora multiplicativa. Na sequência, trataremos principalmente de geradores aditivos.


Exemplo 3.2:

  1. Seja \(\varphi(t) = –\ln(t)\) para \(t\in [0,1]\). Como \(\varphi(0) = +\infty\), \(\varphi\) é estrito. Assim, \[ \varphi^{(-1)}(t) = \varphi^{-1}(t) = \exp(–t), \] e gerar \(C\) via (3.3) produz \[ C(u,\nu) = \exp\Big(-\big(-\ln(u)\big)+\big(-\ln(\nu)\big)\Big) = u\, \nu = \Pi(u,\nu)\cdot \] Assim, \(\Pi\) é uma copula arquimediana estrita.

  2. Seja \(\varphi(t) = 1-t\) para \(t\in [0,1]\). Então \(\varphi^{(-1)}(t) = 1-t\) para \(t\in [0,1]\) e 0 para \(t > 1\); ou seja, \(\varphi^{(-1)}(t) = \max\{1- t,0\}\). Novamente usando (3.3), \[ C(u,\nu) = \max\{u +\nu – 1,0\} = W(u,\nu)\cdot \] Portanto, \(W\) também é arquimediano.

  3. \(M\) não é arquimediano, veja Exercício 84.



Exemplo 3.3:

Seja \(\varphi_\theta(t)=\ln\big(1-\theta\ln(t)\big)\) para \(\theta\in [0,1]\). Como \(\varphi_\theta(0)=+\infty\), \(\varphi_\theta\) é estrito e \[ \varphi^{(-1)}(t)=\varphi^{-1}(t)=\exp\big((1-e^t)/\theta \big)\cdot \] Se \(C_\theta\) denota a copula arquimediana gerada por \(\varphi_\theta\), então \[ C_\theta(u,\nu) = u\, \nu \exp\big(-\theta\ln(u)\ln(\nu)\big), \] a copula de sobrevivência para a distribuição exponencial bivariada de Gumbel, veja Exemplo 1.13.


Na próxima seção, apresentaremos uma série de famílias de copulas arquimedianas de um parâmetro e na Seção 3.3 estudaremos as propriedades fundamentais das copulas arquimedianas, usando muitas dessas famílias de um parâmetro como exemplos. Concluímos esta seção com dois teoremas relativos a algumas propriedades algébricas de copulas arquimedianas.


Teorema 3.2

Seja \(C\) uma copula arquimediana com gerador \(\varphi\). Então:

  1. \(C\) é simétrica; ou seja, \(C(u,\nu) = C(\nu,u)\) para todo \(u,\nu\in {\bf I}\);

  2. \(C\) é associativo, ou seja, \(C\big(C(u,\nu),\omega\big) = C\big(u,C(\nu,\omega)\big)\) para todo \(u,\nu,\omega\in{\bf I}\);

  3. Se \(c > 0\) for qualquer constante, então \(c\varphi\) também é um gerador de \(C\).


Demonstração.

Exercício.


Além disso, também pode-se mostrar (veja Exercício 84) que a seção diagonal \(\delta_C\) de uma copula arquimediana \(C\) satisfaz \(\delta_C(u) < u\) para todo \(u\in (0,1)\). O teorema a seguir afirma que essa propriedade e associatividade caracterizam copulas arquimedianas.


Teorema 3.3

Seja \(C\) uma copula associativa tal que \(\delta_C(u) < u\) para todo \(u\in (0,1)\). Então \(C\) é arquimediano.


Demonstração.

Ver Ling (1965).


Embora não pareça haver uma interpretação estatística para variáveis aleatórias com uma copula associativa, a associatividade será uma propriedade útil quando construirmos copulas arquimedianas multivariadas, na Seção 3.6.


3.2. Famílias de um parâmetro


Conforme visto nos Exemplos 3.2 e 3.3, copulas arquimedianas podem ser construídas à vontade usando o Teorema 3.1, precisamos apenas encontrar funções que servirão como geradoras, isto é, funções convexas decrescentes contínuas \(\varphi\) de \({\bf I}\) a \([0,+\infty]\) com \(\varphi(1) = 0\) e definir as copulas correspondentes via (3.3).

Para outro exemplo, seja \(\varphi(t) = (1/t) – 1\), então obtemos a copula \(C(u,\nu) = u\, \nu (u+\nu - u\, \nu)\), que encontramos pela primeira vez no Exemplo 8 e nos Exercícios 12 e 21. Como essa copula é um membro de várias das famílias que apresentamos abaixo, doravante a designamos como “\(\Pi(\Sigma-\Pi)\).”

Na Tabela 3.1, adaptada de Alsina, Frank, and Schweizer (2006), listamos algumas famílias de copulas arquimedianas importantes de um parâmetro, juntamente com seus geradores, o intervalo do parâmetro e alguns casos especiais e casos limites. Os casos limites são computados por métodos padrão, incluindo a regra de l’Hôpital e pelos Teoremas 4.4.7? e 4.4.8? na Seção 3.4.

Como observado anteriormente, uma razão para a utilidade das copulas arquimedianas na modelagem estatística é a variedade de estruturas de dependência presentes nas várias famílias. Seguindo a Tabela 3.1, apresentamos uma amostragem de gráficos de dispersão de simulações para oito das famílias (Figuras 3.2-3.9). Em cada caso, usamos 500 pontos de amostra e o algoritmo no Exercício 3.15 ou 3.16. Gráficos de dispersão adicionais para membros das famílias na Tabela 3.1 podem ser encontrados em Armstrong (2003).

No exemplo a seguir, mostramos como uma família de copulas arquimedianas surge em um cenário estatístico.


Exemplo 3.4 (Schmitz 2004):

Seja \(\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\) um conjunto de variáveis aleatórias contínuas independentes e identicamente distribuídas com função de distribuição \(F\), e seja \[ X_{(1)} = \min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\} \] e \[ X_{(n)} = \max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}\cdot \] Agora encontramos a copula \(C_{1,n}\) de \(X_{(1)}\) e \(X_{(n)}\).

As funções de distribuição \(F_n\) de \(X_{(n)}\) e \(F_1\) de \(X_{(1)}\) são dadas por \[ F_n(x)=\big(F(x)\big)^n \qquad \mbox{e} \qquad F_1(x)=1-\big(1-F(x)\big)^n\cdot \] Por conveniência, primeiro encontraremos a função de distribuição conjunta \(H^\Delta\) e a copula \(C^\Delta\) de \(– X_{(1)}\) e \(X_{(n)}\), em vez de \(X_{(1)}\) e \(X_{(n)}\): \[ \begin{array}{rcl} H^\Delta(s,t) & = & P\big( -X_{(1)}\leq s, X_{(n)}\leq t \big) = P\big( -s\leq X_{(1)},X_{(n)}\leq t\big)\\[0.8em] & = & \displaystyle P\big( \bigcup_{i=1}^n \{X_i \in [-s,t]\}\big) =\left\{ \begin{array}{cc} \big(F(t)-F(-s)\big)^n, & \mbox{caso } -s\leq t\\[0.8em] 0, & \mbox{caso } -s>t \end{array}\right.\\[0.8em] & = & \big( \max\{F(t)-F(-s),0\}\big)^n\cdot \end{array} \]

Do Corolário 1.2 temos \[ C^\Delta (u,\nu) = H^\Delta \big(G^{(-1)}(u),F_n^{(-1)}(\nu)\big), \] onde \(G\) agora denota a função de distribuição de \(–X_{(1)}\), \(G(x) = \big(1- F(-x)\big)^n\). Seja \(u = \big( 1- F(s)\big)^n\) e \(\nu = \big( F(t)\big)^n\), de modo que \(F(–s) = 1-u^{1/n}\) e \(F(t) = \nu^{1/n}\).

Assim \(C^\Delta (u,\nu) = \Big( \max\big\{ u^{1/n} + \nu^{1/n}-1,0\big\}\Big)^n\) é membro da família Clayton (3.1.1) na Tabela 3.1, com \(\theta = –1/n\).

Utilizando a parte 2 do Teorema 1.9 agora produz \[ C_{1,n}(u,\nu)=\nu-C^\Delta(1-u,\nu)=\nu-\Big( \max\big\{ (1-u)^{1/n} + \nu^{1/n}-1,0\big\}\Big)^n\cdot \]

Embora \(X_{(1)}\) e \(X_{(n)}\) não sejam claramente independentes, observe que \(C_{1,n}\neq \Pi\), elas são assintoticamente independentes; porque usando o fato de que a copula de Clayton, com \(\theta = 0\) é \(\Pi\), \[ \lim_{n\to\infty} C_{1,n}(u,\nu)=\nu-\Pi(1-u,\nu)=u\, \nu\cdot \]


\[ \begin{array}{ccc}\hline (3.1.\#) & C_\theta(u,\nu) & \varphi_\theta(t) \\[0.8em]\hline 1 & \Big(\max\big\{u^{-\theta}+\nu^{-\theta}-1,0\big\}\Big)^{1/\theta} & \dfrac{1}{\theta}\big(t^{-\theta}-1\big) \\[0.8em] 2 & \max\Big\{1-\big((1-u)^\theta+(1-\nu)^\theta \big)^{1/\theta} ,0\Big\} & (1-t)^{\theta} \\[0.8em] 3 & \dfrac{u\, \nu}{1-\theta(1-u)(1-\nu)} & \ln\left( \dfrac{1-\theta(1-t)}{t}\right) \\[0.8em] 4 & \exp\left(-\Big(\big(-\ln(u) \big)^\theta+\big(-\ln(\nu) \big)^\theta \Big)^{1/\theta} \right) & \big(-\ln(t) \big)^\theta \\[0.8em] 5 & -\dfrac{1}{\theta}\ln\left(1+\dfrac{\big(e^{-\theta u}-1 \big)\big(e^{-\theta \nu}-1 \big)}{e^{-\theta}-1} \right) & -\ln\left( \dfrac{e^{-\theta t}-1}{e^{-\theta}-1}\right) \\[0.8em] 6 & 1-\Big((1-u)^\theta+(1-\nu)^\theta-(1-u)^\theta(1-\nu)^\theta \Big)^{1/\theta} & -\ln\big(1-(1-t)^\theta \big) \\[0.8em] 7 & \max\big\{\theta u\, \nu +(1-\theta)(u+\nu-1), 0 \big\} & -\ln\big(\theta t+(1-\theta) \big)\\[0.8em] 8 & \max\left\{\dfrac{\theta^2u\, \nu -(1-u)(1-\nu)}{\theta^2-(\theta-1)^2(1-u)(1-\nu)} ,0\right\} & \dfrac{1-t}{1+(\theta-1)t}\\[0.8em] 9 & u\, \nu \exp\big(-\theta\ln(u)\ln(\nu) \big) & \ln\big(1-\theta\ln(t) \big)\\[0.8em] 10 & \dfrac{u\, \nu}{\Big(1+(1-u^\theta)(1-\nu^\theta) \Big)^{1/\theta}} & \ln\big(2t^{-\theta}-1 \big)\\[0.8em] 11 & \left(\max\Big\{u^\theta\nu^\theta -2(1-u^\theta)(1-\nu^\theta) ,0\Big\} \right)^{1/\theta} & \ln\big( 2-t^\theta\big)\\[0.8em] 12 & \left( 1+\Big(\big(u^{-1}-1 \big)^\theta+\big(\nu^{-1}-1 \big)^\theta \Big)^{1/\theta}\right)^{-1} & \left(\dfrac{1}{t}-1 \right)^\theta\\[0.8em] 13 & \exp\left(1-\Big(\big(1-\ln(u)\big)^\theta+\big(1-\ln(\nu)\big)^\theta-1 \Big)^{1/\theta} \right) & \big(1-\ln(t)\big)^\theta-1 \\[0.8em] 14 & \left( 1+\Big( \big(u^{-1/\theta}-1 \big)^\theta+\big(\nu^{-1/\theta}-1 \big)^\theta \Big)^{1/\theta}\right)^{-\theta} & \big(t^{-1/\theta}-1 \big)^\theta\\[0.8em] 15 & \left( \max\Big\{1-\big((1-u^{1/\theta})^\theta+(1-\nu^{1/\theta})^\theta \big)^{1/\theta}, 0\Big\}\right)^{\theta} & \big(1-t^{1/\theta}\big)^\theta\\[0.8em] 16 & \dfrac{1}{2}\left(S+\sqrt{S^2+4\theta} \right), \; S=u+\nu-1-\theta\left(\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{\nu}-1\right) & \left(\dfrac{\theta}{t}+1\right)(1-t) \\[0.8em] 17 & \left(1+\dfrac{\Big((1+u)^{-\theta}-1\Big)\Big((1+\nu)^{-\theta}-1 \Big)}{2^{-\theta}-1} \right)^{-1/\theta}-1 & -\ln\left(\dfrac{(1+t)^{-\theta}-1}{2^{-\theta}-1} \right) \\[0.8em] 18 & \max\left\{1+\theta\Big/\ln\Big(e^{\theta/(u-1)}+e^{\theta/(\nu-1)} \Big), 0\right\} & e^{\theta/(t-1)} \\[0.8em] 19 & \theta\Big/ \ln\Big(e^{\theta/u}+e^{\theta/\nu}-e^\theta \Big) & e^{\theta/t}-e^\theta \\[0.8em] 20 & \left( \ln\Big(e^{u^{-\theta}} +e^{\nu^{-\theta}}-e \Big)\right)^{-1/\theta} & e^{t^{-\theta}}-e \\[0.8em] 21 & 1-\left(1-\Big(\max\{\big(1-(1-u)^\theta \big)^{1/\theta}+\big(1-(1-\nu)^\theta \big)^{1/\theta}-1,0\} \Big)^\theta \right)^{1/\theta} & 1-\Big(1-(1-t)^\theta\Big)^{1/\theta} \\[0.8em] 22 & \max\left\{\Big(1-(1-u^\theta)\sqrt{1-(1-\nu^\theta)^2}-(1-\nu^\theta)\sqrt{1-(1-u^\theta)^2} \Big)^{1/\theta} ,0\right\} & \arcsin\big(1-t^\theta\big) \\[0.8em] \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{cccc}\hline (3.1.\#) & \theta\in & \mbox{Estrita} & \mbox{Casos limites e especiais} \\[0.8em]\hline 1 & [-1,+\infty)\backslash \{0\} & \theta\geq 0 & C_{-1}=W, \; C_0=\Pi, \; C_1=\Pi/(\Sigma-\Pi), \; C_{\infty}=W \\[0.8em] 2 & [1,+\infty) & \mbox{não} & C_1=W, \; C_{\infty}=M \\[0.8em] 3 & [-1,1) & \mbox{sim} & C_0=\Pi, \; C_1=\Pi/(\Sigma-\Pi) \\[0.8em] 4 & [1,+\infty) & \mbox{sim} & C_=\Pi, \; C_{\infty}=M \\[0.8em] 5 & (-\infty,+\infty)\backslash \{0\} & \mbox{sim} & C_{-\infty}=W, \; C_0=\Pi, \; C_{\infty}=M \\[0.8em] 6 & [1,+\infty) & \mbox{sim} & C_1=\Pi, \; C_{\infty}=M \\[0.8em] 7 & (0,1] & \mbox{não} & C_0=W, \; C_1=\Pi \\[0.8em] 8 & [1,\infty) & \mbox{não} & C_1=W, \; C_\infty=\Pi/(\Sigma-\Pi)\\[0.8em] 9 & (0,1] & \mbox{sim} & C_0=\Pi \\[0.8em] 10 & (0,1] & \mbox{sim} & C_0=\Pi \\[0.8em] 11 & (0,1/2] & \mbox{não} & C_0=\Pi \\[0.8em] 12 & [1,\infty) & \mbox{sim} & C_1=\Pi/(\Sigma-\Pi), \; C_\infty=M \\[0.8em] 13 & (0,\infty) & \mbox{sim} & C_1=\Pi, \; C_\infty=M \\[0.8em] 14 & [1,\infty) & \mbox{sim} & C_1=\Pi/(\Sigma-\Pi), \; C_\infty=M \\[0.8em] 15 & [1,\infty) & \mbox{não} & C_1=W, \; C_\infty = M \\[0.8em] 16 & [0,\infty) & \theta>0 & C_0=W, \; C_\infty= \Pi/(\Sigma-\Pi) \\[0.8em] 17 & (-\infty,+\infty)\backslash \{0\} & \mbox{sim} & C_{-1}=\Pi, \; C_\infty=M \\[0.8em] 18 & [2,\infty) & \mbox{não} & C_\infty = M \\[0.8em] 19 & (0,\infty) & \mbox{sim} & C_0=\Pi/(\Sigma-\Pi), \; C_\infty=M \\[0.8em] 20 & (0,\infty) & \mbox{sim} & C_0=\Pi, \; C_\infty=M \\[0.8em] 21 & [1,\infty) & \mbox{não} & C_1=W, \; C_\infty = M \\[0.8em] 22 & (0,1] & \mbox{não} & C_0=\Pi \\\hline \end{array} \] Tabela 3.1: Famílias de copulas arquimedianas de um parâmetro.

Notas sobre algumas das famílias na Tabela 3.1:

(4.2.1) Esta família de copulas foi discutida por Clayton (1978), Oakes (1982, 1986), Cox e Oakes (1984) e Cook e Johnson (1981, 1986). Genest e MacKay (1986) chamam isso de família generalizada de Cook e Johnson; Hutchinson e Lai (1990) chamam isso de família de Pareto de copulas — veja o Exemplo 2.14; enquanto Genest e Rivest (1993) chamam isso de família Clayton, como faremos. É uma das duas únicas famílias (a outra é (4.2.5)) na tabela que são abrangentes.

(4.2.3) Esta é a família Ali-Mikhail-Haq, que derivamos algebricamente na Seção 3.3.2. Veja também o Exemplo 3.8 na próxima seção.

(4.2.4) Esta família de copulas foi discutida pela primeira vez por Gumbel (1960b), portanto muitos autores se referem a ela como a família Gumbel. No entanto, como o nome de Gumbel está ligado a outra família arquimediana

(4.2.9) e esta família também aparece em Hougaard (1986), Hutchinson e Lai (1990) se referem a ela como a família Gumbel-Hougaard. Encontramos esta família no Exercício 1.13 em conjunto com distribuições de valores extremos bivariadas do tipo B. Veja também (Genest e Rivest 1989).

(4.2.5) Esta é a família Frank, que apareceu pela primeira vez em Frank (1979) em um contexto não estatístico. Algumas das propriedades estatísticas desta família foram discutidas em (Nelsen 1986; Genest 1987). Estas são as únicas copulas arquimedianas que satisfazem a equação funcional C(u,v) = Ĉ (u,v) no Teorema 2.7.3 para simetria radial — veja (Frank 1979) para uma prova deste resultado notável. Conforme observado acima, esta é uma das duas famílias abrangentes na tabela.

(4.2.6) Esta família é discutida em (Joe 1993, 1997), e as copulas para membros desta família aparecem em (Frank 1981).

(4.2.9) As copulas nesta família são as copulas de sobrevivência associadas à distribuição exponencial bivariada de Gumbel (Gumbel 1960a) — veja os Exemplos 1.9 e 1.13. Embora muitos autores se refiram a essas copulas como outra família Gumbel, Hutchinson e Lai (1990) a chamam de família Gumbel-Barnett, já que Barnett (1980) a discutiu pela primeira vez como uma família de copulas, ou seja, depois que as margens da exponencial bivariada foram traduzidas para margens uniformes (0,1).

(3.2.15) Esta família é discutida em Genest and Ghoudi (1994).

Figura 3.2. Diagramas de dispersão para copulas (3.1.1), \(\theta = –0.8\) (esquerda) e \(\theta = 4\) (direita).

Figura 3.3. Diagramas de dispersão para copulas (3.1.2), \(\theta = 2\) (esquerda) e \(\theta = 8\) (direita).

Figura 3.5. Diagramas de dispersão para copulas (3.1.5), \(\theta = –12\) (esquerda) e \(\theta = 8\) (direita).

Figura 3.4. Diagramas de dispersão para copulas (3.1.7), \(\theta = 0.4\) (esquerda) e \(\theta = 0.9\) (direita).

Figura 3.5. Diagramas de dispersão para copulas (3.1.12), \(\theta = 1.5\) (esquerda) e \(\theta = 4\) (direita).

Figura 3.7. Diagramas de dispersão para copulas (3.1.15), \(\theta = 1.5\) (esquerda) e \(\theta = 4\) (direita).

Figura 3.8. Diagramas de dispersão para copulas (3.1.16), \(\theta = 0.01\) (esquerda) e \(\theta = 1\) (direita).

Figura 3.9. Diagramas de dispersão para copulas (3.1.18), \(\theta = 2\) (esquerda) e \(\theta = 6\) (direita).


3.3. Propriedades fundamentais


Nesta seção, investigaremos algumas das propriedades básicas das copulas arquimedianas. Por conveniência, denotamos por \(\Omega\) o conjunto de funções convexas \(\varphi\) estritamente decrescentes contínuas de \({\bf I}\) a \([0,+\infty]\) com \(\varphi(1) = 0\).

A esta altura, o leitor certamente está se perguntando sobre o significado do termo “arquimediano” para essas copulas. Lembre-se do axioma arquimediano para os números reais positivos: Se \(a,b\) são números reais positivos, então existe um inteiro \(n\) tal que \(na > b\). Uma copula arquimediana se comporta como uma operação binária no intervalo \({\bf I}\), em que a copula \(C\) atribui a cada par \(u,\nu\in{\bf I}\) um número \(C(u,\nu)\in{\bf I}\).

Do Teorema 3.2, vemos que a “operação” \(C\) é comutativa e associativa, e preserva a ordem como consequência de (1.7), ou seja, \(u_1\leq u_2\) e \(\nu_1\leq \nu_2\) implica \(C(u_1,\nu_1)\leq C(u_2,\nu_2)\), os algebristas chamam \(({\bf I},C)\) de um semigrupo Abeliano ordenado.

Para qualquer \(u\in{\bf I}\), podemos definir as \(C\)-potências \(u_C^n\) de \(u\) recursivamente: \[ u_C^1 = u \qquad \mbox{e} \qquad u_C^{n+1} = C(u, u_C^n)\cdot \] Observe que \(u_C^2\) pertence à seção diagonal \(\delta_C(u)\) de \(C\).

A versão arquimediana do axioma para \(({\bf I},C)\) é: Para quaisquer dois números \(u,\nu\in (0,1)\), existe um inteiro positivo \(n\) tal que \(u_C^n < \nu\). O próximo teorema mostra que as copulas arquimedianas satisfazem esta versão do axioma arquimediano e, portanto, merecem seu nome. O termo “arquimediano” para essas copulas foi introduzido em Ling (1965).


Teorema 3.4

Seja \(C\) uma copula arquimediana gerada por \(\varphi\) em \(\Omega\). Então, para quaisquer \(u,\nu\in{\bf I}\), existe um inteiro positivo \(n\) tal que \(u_C^n < \nu\).


Demonstração.

Sejam \(u,\nu\) quaisquer elementos de (0,1). A \(n\)-ésima \(C\)-potência \(u_C^n\) de \(u\) é prontamente vista como sendo \(\varphi^{(-1)}\big(n\varphi(u)\big)\). Como \(\varphi(u)\) e \(\varphi(\nu)\) são números reais positivos, o axioma de Arquimedes se aplica e, portanto, eiste um inteiro \(n\) tal que \(n\varphi(u) > \varphi(\nu)\). Mas como \(\nu > 0\), \(\varphi(\nu) <\varphi(0)\) e, portanto, \[ \nu = \varphi^{(-1)}\big(\varphi(\nu)\big) > \varphi^{(-1)}\big(n\varphi(u)\big) = u_C^n\cdot \] Observe que a convexidade de \(\varphi\) não é necessária na prova deste teorema.


Para um relato da história da representação de funções associativas, que remonta ao trabalho inicial de Niels Abel, veja Schweizer and Sklar (1983) e Alsina, Frank, and Schweizer (2006).

No próximo teorema, estabelecemos a base para determinar quais copulas arquimedianas são absolutamente contínuas e quais têm componentes singulares.

Lembremos, das Seções 1.1 e 2.4.3, que os conjuntos de nível de uma copula \(C\) são dados por \[ \left\{(u,\nu)\in{\bf I}^2 \, \Big| \, C(u,\nu) = t\right\}\cdot \] Para uma copula arquimediana e para \(t > 0\), este conjunto de níveis consiste nos pontos na curva de nível \(\varphi(u)+\varphi(\nu)=\varphi(t)\) em \({\bf I}^2\) que conecta os pontos \((1,t)\) e \((t,1)\).

Frequentemente escreveremos a curva de nível como \(\nu = L_t(u)\), pois resolver para \(\nu\) como uma função de \(u\) produz \[ \tag{3.6} \nu=L_t(u)=\varphi^{(-1)}\big(\varphi(t)-\varphi(u)\big)=\varphi^{(-1)}\big(\varphi(t)-\varphi(u) \big), \] onde o último passo, substituindo \(\varphi^{(-1)}\) por \(\varphi^{-1}\), é justificado porque \(\varphi(t)-\varphi(u)\) está no intervalo \([0,\varphi(0))\). Para \(t = 0\), chamamos \[ \left\{(u,\nu)\in{\bf I}^2 \, \Big| \, C(u,\nu) = 0\right\} \] o conjunto zero de \(C\), e o denotamos \(\mathbb{Z}(C)\).

Para muitas copulas arquimedianas, \(\mathbb{Z}(C)\) é simplesmente os dois segmentos de reta \(\{0\}\times {\bf I}\) e \({\bf I}\times \{0\}\). Para outras, \(\mathbb{Z}(C)\) tem área positiva, e para tal conjunto zero a curva limite \(\varphi(u)+\varphi(\nu) = \varphi(0)\), ou seja, \(\nu = L_0(u)\), de \(\mathbb{Z}(C)\) é chamada de curva zero de \(C\). Veja a Figura 3.10 para uma ilustração do último caso — o membro da família (3.2.2) na Tabela 3.1 com \(\theta = 2\), no qual as curvas de nível e a curva zero são quartos de círculo. De fato, o gráfico desta copula é um quarto de um cone circular cujo vértice está uma unidade acima (1,1).

Figura 3.10. Gráficos de algumas curvas de nível, o conjunto zero e a curva zero da copula arquimediana em (3.2.2) com \(\theta = 2\).

Na Figura 3.10, as curvas de nível são convexas. Este deve ser o caso para todas as copulas arquimedianas; mas não todas as copulas — veja o Exemplo 3.28? e o Exercício 4.4?, como mostra o teorema a seguir.


Teorema 3.5

As curvas de nível de uma copula arquimediana são convexas.


Demonstração.

Seja \(C\) uma copula arquimediana com gerador \(\varphi\). Para \(t\in [0,1)\), as curvas de nível de \(C\) são dadas por (3.6) e precisamos apenas mostrar que \(L_t\) é midconvexa porque é contínua. Agora \(\varphi\) é convexa, então \[ \begin{array}{rcl} \varphi(t)-\varphi\big((u_1+u_2)/2\big) & \geq & \varphi(t)-\dfrac{\varphi(u_1)-\varphi(u_2)}{2}\\[0.8em] & = & \dfrac{\big(\varphi(t)-\varphi(u_1) \big)+\big(\varphi(t)-\varphi(u_2) \big)}{2}; \end{array} \] e como \(\varphi^{-1}\) é decrescente e convexo, temos \[ \begin{array}{rcl} L_t\big((u_1+u_2)/2\big) & = & \varphi^{-1}\Big(\varphi(t)-\varphi\big((u_1+u_2)/2\big) \Big)\\[0.8em] & \leq & \varphi^{-1}\left( \dfrac{\big(\varphi(t)-\varphi(u_1) \big)+\big(\varphi(t)-\varphi(u_2) \big)}{2}\right)\\[0.8em] & \leq & \dfrac{\varphi^{-1}\big(\varphi(t)-\varphi(u_1) \big)+\varphi^{-1}\big(\varphi(t)-\varphi(u_2) \big)}{2}\\[0.8em] & = & \dfrac{L_t(u_1)-L_t(u_2)}{2}\cdot \end{array} \]


A \(C\)-medida transportada por cada uma das curvas de nível de uma copula arquimediana \(C\) é dada no seguinte teorema (Alsina, Frank, and Schweizer 2006).


Teorema 3.6

Seja \(C\) uma copula arquimediana gerada por \(\varphi\in\Omega\).

  1. Para \(t\in (0,1)\), a \(C\)-medida da curva de nível \(\varphi(u)+\varphi(\nu)=\varphi(t)\) é dada por \[ \tag{3.7} \varphi(t)\left(\dfrac{1}{\varphi'(t^-)}-\dfrac{1}{\varphi'(t^+)} \right), \] onde \(\varphi'(t^-)\) e \(\varphi'(t^+)\) denotam as derivadas unilaterais de \(\varphi\) em \(t\). Em particular, se \(\varphi'(t)\) existe — o que é o caso para todos, exceto no máximo um conjunto infinito enumerável de pontos — então esta \(C\)-medida é 0.

  2. Se \(C\) não for estrito, então a \(C\)-medida da curva zero \(\varphi(u)+\varphi(\nu) = \varphi(0)\) é igual a

\[ \tag{3.8} -\dfrac{\varphi(0)}{\varphi'(0^+)}, \] e, portanto, igual a 0 sempre que \(\varphi'(0^+)=-\infty\).


Demonstração.

Primeiro notamos que, como \(\varphi\) é convexo, as derivadas unilaterais \(\varphi'(t^-)\) e \(\varphi'(t^+)\) existem em (0,1] e [0,1), respectivamente (Roberts and Varberg 1973). Seja \(t\in (0,1)\) e defina \(\omega=\varphi(t)\). Seja \(n\) um inteiro positivo fixo e considere a partição do intervalo \([t,1]\) induzida pela partição regular \(\{0,\omega/n,\cdots,k\omega/n,\cdots,\omega\}\) em \([0,\omega]\), ou seja, a partição \(\{t = t_0,t_1,\cdots,t_n = 1\}\) onde \[ t_{n-k} = \varphi^{(-1)}(k\omega/n), \] \(k = 0,1,\cdots,n\). Como \(\omega < \varphi(0)\), segue de (3.2) que \[ \begin{array}{rcl} C(t_j,t_k) & = & \varphi^{-1}\big(\varphi(t_j)+\varphi(t_k) \big)\\[0.8em] & = & \varphi^{-1}\left(\dfrac{n-j}{n}\omega-\dfrac{n-k}{n}\omega \right) = \varphi^{-1}\left(\omega+\dfrac{n-j-k}{n}\omega \right)\cdot \end{array} \] Em particular, \(C(t_j,t_{n-j})=\varphi^{(-1)}(\omega)=t\).

Denote o retângulo \(R_k=[t_{k-1},t_k]\times [t_{n-k},t_{n-k+1}]\) e seja \(S_n = \cup_{k=1}^n R_k\), ver Figura 3.11(a).

Figura 3.11. Gráficos de algumas curvas de nível, o conjunto zero e a curva zero da copula arquimediana em (3.1.2) com \(\theta = 2\).

Da convexidade de \(\varphi^{(-1)}\) segue-se que \[ 0\leq t_1-t_0\leq t_2-t_1\leq \cdots \leq t_n-t_{n-1}=1-t_{n-1}, \] e claramente \(\lim_{n\to\infty} (1-t_{n-1}) = 1-\varphi^{(-1)}(0) = 0\). Portanto, a \(C\)-medida da curva de nível \(\varphi(u)+\varphi(\nu)=\varphi(t)\) é dada por \(\lim_{n\to\infty} V_C(S_n)\). Para cada \(k\) temos \[ \begin{array}{rcl} V_C(R_k) & = & C(t_{k-1},t_{n-k})-t-t+C(t_k,t_{n-k+1}) \\[0.8em] & = & \left(\varphi^{(-1)}(\omega+\omega/n)-\varphi^{(-1)}(\omega)\right)-\left(\varphi^{(-1)}(\omega)-\varphi^{(-1)}(\omega-\omega/n)\right) \cdot\\[0.8em] \end{array} \] Por isso, \[ \begin{array}{rcl} V_C(S_n) & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n V_C(R_k)\\[0.8em] & = & \omega\left( \dfrac{\varphi^{(-1)}(\omega+\omega/n)-\varphi^{(-1)}(\omega)}{\omega/n} - \dfrac{\varphi^{(-1)}(\omega)-\varphi^{(-1)}(\omega-\omega/n)}{\omega/n}\right) \end{array} \] do qual (3.7) segue tomando o limite quando \(n\to\infty\).

Para um \(C\) não estrito e \(t = 0\), \(\varphi(0)\) é finito e \(C(u,\nu) = 0\) em \(\mathbb{Z}(C)\), ou seja, na curva de nível \(\varphi(u)+\varphi(\nu)=\varphi(0)\). Assim, para cada \(k\), \(V_C(R_k) = C(t_k,t_{n-k+1})\), do qual, usando o argumento acima, (3.8) segue.



Exemplo 3.5:

Seja \(\theta\in (0,1]\) e seja \(\varphi_\theta\) a função linear por partes em \(\Omega\) cujo gráfico conecta \((0,2-\theta)\) a \((\theta/2,1-\theta/2)\) a (1,0), conforme ilustrado na parte (a) da Figura 3.12.

Figura 3.12. O gerador e o suporte da copula no Exemplo 3.5.

As inclinações dos dois segmentos de reta no gráfico são \(-(2-\theta)/\theta\) e –1. Se \(C_\theta\) é a copula arquimediana gerada por \(\varphi_\theta\), então segue de (3.7) que a \(C_\theta\)-medida da curva de nível \(\varphi_\theta(u)+\varphi_\theta(\nu) =\varphi_\theta(\theta/2)\) é \[ \left(1-\dfrac{\theta}{2}\right)\left(1-\dfrac{\theta}{2-\theta}\right)=1-\theta; \] e de (3.8) que a \(C_\theta\)-medida da curva zero \(\varphi_\theta(u)+\varphi_\theta(\nu)=\varphi_\theta(0)\) é \(\theta\).

Como essas medidas somam um, as copulas arquimedianas nesta família são singulares e o suporte de \(C_\theta\) consiste na curva de nível \(\varphi_\theta(u)+\varphi_\theta(\nu)=\varphi_\theta(\theta/2)\) e na curva zero, conforme ilustrado na parte (b) da Figura 3.12.

Note que tanto \(\lim_{\theta\to 0^+} C_\theta\) quanto \(C_1\) são \(W\). De fato, se o gerador \(\varphi\) de uma copula arquimediana \(C\) é uma função linear por partes em \(\Omega\), então \(C\) deve ser singular.


Usando os mesmos métodos da prova do Teorema 3.6, podemos encontrar a \(C\)-medida da região em \({\bf I}^2\) situada sobre, ou abaixo e à esquerda de, cada curva de nível.


Teorema 3.7

Seja \(C\) uma copula arquimediana gerada por \(\varphi\) em \(\Omega\). Seja \(K_C(t)\) a \(C\)-medida do conjunto \[ \left\{ (u,\nu)\in{\bf I}^2 \, \Big| \, C(u,\nu)\leq t\right\}, \] ou equivalentemente, do conjunto \(\left\{(u,\nu)\in{\bf I}^2 \, \Big| \, \varphi(u)+\varphi(\nu)\geq \varphi(t)\right\}\). Então para qualquer \(t\in{\bf I}\) \[ \tag{3.9} K_C(t)=t-\dfrac{\varphi(t)}{\varphi'(t^+)}\cdot \]


Demonstração.

Seja \(t\in (0,1)\) e defina \(\omega=\varphi(t)\). Seja \(n\) um inteiro positivo fixo e considere as mesmas partições de \([t,1]\) e \([0,\omega]\) que aparecem na prova do Teorema 3.6. Seja \(R'_k\) o retângulo \([t_{k-1},t_k]\times [0,t_{n-k+1}]\) e defina \(S'_n = \cup_{k=1}^n R'_k\), veja a Figura 3.11(b). Prosseguindo como antes, \(K_C(t)\) é dado pela soma da \(C\)-medida de \([0,t]\times {\bf I}\) e \(\lim_{n\to\infty} V_C(S'_n)\), ou seja, \(K_C(t) = t + \lim_{n\to\infty} V_C(S'_n)\). Para cada \(k\) temos \[ V_C(R'_K)=C(t_k,t_{n-k+1})-t=\varphi^{(-1)}(\omega-\omega/n)-\varphi^{(-1)}(\omega), \] e portanto \[ \begin{array}{rcl} V_C(S'_n) & = & \displaystyle \sum_{k=1}^n V_C(R'_k)\\[0.8em] & = & -\omega \left(\dfrac{\varphi^{(-1)}(\omega)-\varphi^{(-1)}(\omega-\omega/n)}{\omega/n} \right), \end{array} \] do qual (3.9) segue tomando o limite quando \(n\to\infty\).


O seguinte corolário, que é uma generalização do Teorema 3.7, é necessário para a demonstração do Teorema 4.4.7? na próxima seção.


Corolário 3.1:

Seja \(C\) uma copula arquimediana gerada por \(\varphi\) em \(\Omega\). Seja \(K'_C(s,t)\) a \(C\)-medida do conjunto \[ \left\{ (u,\nu)\in{\bf I}^2 \, \Big| \, u\leq s, \; C(u,\nu)\leq t\right\}\cdot \] Então para qualquer \(s,t \in{\bf I}\), \[ \tag{3.10} K'_C(s,t) = \left\{ \begin{array}{ccl} s, & \mbox{caso} & s\leq t \\[0.8em] t-\dfrac{\varphi(t)-\varphi(s)}{\varphi'(t^+)}, & \mbox{caso} & s>t\end{array}\right.\cdot \]


Demonstração.

Quando \(s\leq t\), \(K'_C(s,t)=s\), visto que \[ \left\{ (u,\nu)\in{\bf I}^2 \, \Big| \, u\leq s, \; C(u,\nu)\leq t\right\}=\left\{ (u,\nu)\in{\bf I}^2 \, \Big| \, u\leq s\right\}\cdot \] Suponha que \(s > t\). Procedendo como nos Teoremas 3.6 e 3.7, seja \(z = \varphi(s)\) e considere a partição do intervalo \([t,s]\), em vez de \([t,1]\), induzida pela partição regular do intervalo \([z,\omega]\), em vez do intervalo \([0,\omega]\). Aqui \[ t_{n-k}=\varphi^{(-1)}\big(z+[k(\omega-z)/n] \big), \] \(k=0,1,\cdots,n\) e portanto \[ C(t_k,L(t_{k-1}))=\varphi^{(-1)}\big(\omega-(\omega-z)/n\big)\cdot \] Assim \(V_C(R'_k) = \varphi^{(-1)}\big(\omega-(\omega-z)/n\big)–\varphi^{(-1)}(\omega)\) e o resto da prova é análogo ao do Teorema 3.7. Note que (3.10) se reduz a (3.9) quando \(s = 1\).


Uma subclasse especial de copulas arquimedianas consiste naquelas para as quais o gerador é duas vezes diferenciável, ou seja, quando a copula \(C\) tem um gerador \(\varphi\in\Omega\) tal que \(\varphi'(t) < 0\) e \(\varphi''( t) > 0\) para todo \(t\in (0,1)\).

Para tais copulas, Genest and MacKay (1986a), Genest and MacKay (1986b) provaram a parte 2 do Teorema 3.6 usando (1.17) para encontrar a \(C\)-medida \(A_C(1,1)\) da componente absolutamente contínua de \(C\). Para coópulas nesta subclasse, o suporte do componente singular, se houver, consiste na curva zero; e além disso, quando \(C\) é absolutamente contínua, sua densidade é dada por \[ \tag{3.11} -\dfrac{\varphi''\big(C(u,\nu)\big)\varphi'(u)\varphi'(\nu)}{\Big(\varphi'\big(C(u,\nu\big)\Big)^3}\cdot \]


Exemplo 3.6:

  1. Cada uma das copulas na família Clayton (3.1.1) na Tabela 3.1 é não estrita para \(\theta\) no intervalo [–1,0). No entanto, \(\varphi'_\theta(0^+) = –\infty\) e \(\varphi''_\theta(t) > 0\) para qualquer \(\theta\) desse tipo e, portanto, cada membro da família Clayton é absolutamente contínua.

  2. As copulas na família (3.1.2) são todas não estrita e um cálculo elementar mostra que a \(C_\theta\)-medida da curva zero é \(-\varphi_\theta(0)\Big/\varphi'_\theta(0^+) = 1/\theta\). Assim, os membros desta família, além de \(W\), têm um componente singular e um absolutamente contínuo.


Quando o gerador \(\varphi\) de uma copula arquimediana é continuamente diferenciável, a \(C\)-medida do conjunto \[ \left\{ (u,\nu)\in{\bf I}^2 \, \Big| \, C(u,\nu)\leq t\right\} \] dada por (3.9) é \[ K_C(t) = t - \dfrac{\varphi(t)}{\varphi'(t)}\cdot \]

Conforme observado em Genest and MacKay (1986b), existe uma interpretação geométrica deste resultado, \(K_C(t)\) é o intercepto \(x\) da reta tangente ao gráfico de \(y = \varphi(x)\) no ponto \((t,\varphi(t))\), conforme mostrado na Figura 3.13.

Figura 3.13. Uma interpretação geométrica de \(K_C(t) = t - \big(\varphi(t)/\varphi'(t)\big)\cdot\).

Além disso, quando \(\varphi\) não é estrito, o intercepto \(x\), \(K_C(0) = -\varphi(0)/\varphi'(0)\) da linha tangente a \(y = \varphi(x)\) em seu intercepto \(y\) \((0,\varphi(0))\) é a \(C\)-medida da curva zero, que é positiva quando \(\varphi'(0) > –\infty\).

O corolário a seguir apresenta uma interpretação probabilística do Teorema 3.7 e do Corolário 3.1 que será útil no Capítulo 4 quando considerarmos a versão populacional da medida não paramétrica de associação conhecida como \(tau\) de Kendall para copulas arquimedianas.


Corolário 3.2:

Sejam \(U\) e \(V\) variáveis aleatórias uniformes (0,1) cuja função de distribuição conjunta é a copula arquimediana \(C\) gerada por \(\varphi\in\Omega\). Então a função \(K_C\) dada por (3.9) é a função de distribuição da variável aleatória \(C(U,V)\). Além disso, a função \(K'_C\) dada por (3.10) é a função de distribuição conjunta de \(U\) e \(C(U,V)\).


Demonstração.

Ver Genest and MacKay (1986b).


O próximo teorema Genest and Rivest (1993) é uma extensão do Corolário 3.2. Uma aplicação deste teorema é o algoritmo para gerar variáveis aleatórias de distribuições com copulas arquimedianas dado no Exercício 97.


Teorema 3.8

Sob as hipóteses do Corolário 3.2, a função de distribuição conjunta \(H(s,t)\) das variáveis aleatórias \[ S=\varphi(U)/\big(\varphi(U)+\varphi(V) \big) \qquad \mbox{e} \qquad T=C(U,V) \] é dada por \(H(s,t) = s\times K_C(t)\) para todo \((s,t)\in{\bf I}^2\). Portanto, \(S\) e \(T\) são independentes e \(S\) é uniformemente distribuído em (0,1).


Demonstração.

Apresentamos uma prova para o caso em que \(C\) é absolutamente contínuo. Para uma prova no caso geral, veja Genest and Rivest (1993). A densidade conjunta \(h(s,t)\) de \(S\) e \(T\) é dada por \[ h(s,t)=\dfrac{\partial^2}{\partial u\partial\nu} C(u,\nu)\times \left|\dfrac{\partial (u,\nu)}{\partial (s,t)} \right| \] em termos de \(s\) e \(t\), onde \(\partial^2 C(u,\nu)/\partial u\partial\nu\) é dado por (3.11) e \(\partial (u,\nu)/\partial (s,t)\) denota o Jacobiano da transformação \(\varphi(u) = s\varphi(t)\), \(\varphi(\nu) = (1–s)\varphi(t)\). Mas \[ \dfrac{\partial (u,\nu)}{\partial (s,t)}=\dfrac{\varphi(t)\varphi'(t)}{\varphi(u)\varphi'(\nu)} \] e, portanto, \[ h(s,t)=\left(-\dfrac{\varphi''(t)\varphi'(u)\varphi'(\nu)}{\big(\varphi'(t) \big)^3} \right)\times \left(-\dfrac{\varphi(t)\varphi'(t)}{\varphi'(u)\varphi'(\nu)} \right)=\dfrac{\varphi''(t)\varphi(t)}{\big(\varphi'(t)\big)^2}\cdot \] Então \[ H(s,t)=\int_0^s \int_0^t \dfrac{\varphi''(y)\varphi(y)}{\big(\varphi'(y) \big)^2}\mbox{d}y\mbox{d}x=s\times \left.\left( y-\dfrac{\varphi(y)}{\varphi'(y)} \right)\right|_{0}^y =s\times K_C(t), \] e a conclusão segue.


Se alguém tem uma copula \(C\) que seja associativa e para a qual \(\delta_C(u) < u\) em (0,1), então ela deve ser arquimediana pelo Teorema 3.3. O próximo teorema produz uma técnica para encontrar geradores de tais copulas.


Teorema 3.9

Seja \(C\) uma copula arquimediana com gerador \(\varphi\in\Omega\). Então para quase todo \(u,\nu\in{\bf I}\), \[ \tag{3.12} \varphi'(u)\dfrac{\partial C(u,\nu)}{\partial \nu}=\varphi'(\nu)\dfrac{\partial C(u,\nu)}{\partial u}\cdot \]


Demonstração.

Como \(\varphi\) é convexa, \(\varphi'\) existe quase em todo lugar em (0,1). Do Teorema 1.3, as derivadas parciais \(\partial C(u,\nu)/\partial u\) e \(\partial C(u,\nu)/\partial\nu\) existem para quase todo \(u,\nu\in{\bf I}\). Portanto, aplicando a regra da cadeia a \(\varphi\big( C(u,\nu)\big) =\varphi(u)+\varphi(\nu)\), temos \[ \varphi'\big(C(u,\nu)\big)\dfrac{\partial C(u,\nu)}{\partial u}=\varphi'(u) \qquad \mbox{e} \qquad \varphi'\big(C(u,\nu)\big)\dfrac{\partial C(u,\nu)}{\partial \nu}=\varphi'(\nu)\cdot \] Mas como \(\varphi\) é estritamente decrescente, \(\varphi'(t)\neq 0\) onde quer que exista, do qual (3.12) agora segue.


Os próximos dois exemplos ilustram o uso deste teorema, em conjunto com os Teoremas 3.2 e 3.3, para determinar se uma copula específica é arquimediana e, quando for, qual pode ser um gerador.


Exemplo 3.7:

A família de copulas Farlie-Gumbel-Morgenstern foi introduzida no Exemplo 2.12 na Seção 2.2.5. Algum membro desta família é arquimediano? Se sim, eles devem ser associativos.

Mas é fácil mostrar que se \(C_\theta\) é dado por (3.2.10), então \[ C_\theta\big(1/4, C_\theta(1/2,1/3) \big)\neq C_\theta\big(C_\theta(1/4,1/2),1/3 \big), \] para todo \(\theta\in [–1,1]\) exceto 0.

Portanto, exceto para \(\Pi\), as copulas de Farlie-Gumbel-Morgenstern não são arquimedianas.



Exemplo 3.8:

A família de copulas Ali-Mikhail-Haq foi derivada por métodos algébricos na Seção 2.3.2. POde-se mostrar que, mas tedioso, quando \(C_\theta\) é dado por (2.32), então \[ C_\theta\big(u,C_\theta(\nu,\omega)\big) = C_\theta\big(C_\theta(u,\nu),\omega\big) \] para \(u,\nu,\omega\in{\bf I}\) e todos \(\theta\in [–1,1]\), e que \(C_\theta(u,u) < u\) para todos \(u\in (0,1)\).

Portanto, pelo Teorema 3.3, cada copula Ali-Mikhail-Haq \(C_\theta\) é arquimediana. Para encontrar um gerador, avaliamos as derivadas parciais de \(C_\theta\) e utilizamos (3.12) para obter \[ \dfrac{\varphi'_\theta(u)}{\varphi'_\theta(\nu)}=\dfrac{\partial C_\theta(u,\nu)/\partial u}{\partial C_\theta(u,\nu)/\partial \nu}=\dfrac{\nu\big( 1-\theta(1-\nu)\big)}{u\big( 1-\theta(1-u)\big)}\cdot \]

Portanto \(\varphi'_\theta(t) = - c_\theta\Big/ \Big(t\big(1-\theta(1-t)\big)\Big)\), onde \(c_\theta > 0\) já que \(\varphi'_\theta(t) < 0\), do que se segue que um gerador é dado por \[ \varphi_\theta(t)=\dfrac{c_\theta}{1-\theta}\ln\left(\dfrac{1-\theta(1-t)}{t} \right) \] para \(\theta\in [-1,1)\) e \[ \varphi_1(t)=c_1\left(\dfrac{1}{t}-1 \right)\cdot \]

Ao definir \(c_1 = 1\) e \(c_\theta = 1-\theta\) para \(\theta\in [–1,1)\), obtemos a expressão para \(\varphi_\theta\) dada em (3.1.3).


Como consequência do Exemplo 2.11, uma fonte de geradores de copulas arquimedianas consiste em inversos de transformadas de Laplace de funções de distribuição. Ou seja, se \(\Lambda(\theta)\) é uma função de distribuição com \(\Lambda(0) = 0\) e \[ \psi(t)=\int_0^\infty e^{-\theta\, t}\mbox{d}\Lambda(\theta), \] quando \(\varphi = \psi^{-1}\) gera uma copula arquimediana estrita, veja (2.12) no Exemplo 2.11.


Exemplo 3.9:

Se \(\Lambda\) for uma função de distribuição gama com parâmetros \(\alpha = 1/\theta\) e \(\beta = 1\) para \(\theta > 0\), então a transformada de Laplace de \(\Lambda\) é \[ \psi(t) = (1+t)^{-1/\theta}\cdot \]

Portanto \(\varphi(t) = \psi^{-1}(t) = t^{-\theta} - 1\), que gera a subfamília estrita de (3.1.1). Para mais exemplos, veja Joe (1993).


Encerramos esta seção observando que existem procedimentos de estimação para selecionar a copula arquimediana que melhor se ajusta a uma determinada amostra aleatória (Genest and Rivest 1993) e para estimar o parâmetro \(\theta\) em uma determinada família arquimediana Shih and Louis (1995).


3.4. Ordem e casos limites


Lembre-se da Definição 1.11 da ordem de concordância de copulas, \(C_1\) é menor que \(C_2\) (\(C_1 \prec C_2\)) se \(C_1(u,\nu)\leq C_2(u,\nu)\) para todo \(u,v\in{\bf I}\). Lembre-se também de que uma família \(\{C_\theta\}\) de copulas é ordenada positivamente se \(C_\alpha \prec C_\beta\) sempre que \(\alpha\leq \beta\); e ordenada negativamente se \(C_\alpha\succ C_\beta\) sempre que \(\alpha\geq \beta\).

No Exercício 1.32, vimos que a família Ali-Mikhail-Haq (3.1.3) de copulas arquimedianas é ordenada positivamente.


Exemplo 3.10:

Sejam \(C_1\) e \(C_2\) membros da família Gumbel-Barnett (3.1.9) de parâmetros \(\theta_1\) e \(\theta_2\), respectivamente. Se \(\theta_1\leq \theta_2\), então \[ -\theta_1 \ln(u)\ln(\nu)\geq -\theta \ln(u)\ln(\nu) \] para \(u,\nu\in (0,1)\), do qual se segue que \(C_1\succ C_2\). Portanto, a família Gumbel-Barnett de copulas é negativamente ordenada.



Exemplo 3.11:

Sejam \(C_1\) e \(C_2\) membros da família (3.1.19) com parâmetros \(\theta_1\) e \(\theta_2\), respectivamente. Usar a Definição 1.11 requer determinar o sentido da desigualdade (se houver) entre \[ \dfrac{\theta_1}{\ln\left(e^{\theta_1/n}+e^{\theta_1/\nu}-e^{\theta_1} \right)} \qquad \mbox{e} \qquad \dfrac{\theta_2}{\ln\left(e^{\theta_2/n}+e^{\theta_2/\nu}-e^{\theta_2} \right)}, \] quando \(\theta_1\leq \theta_2\).


Como o exemplo anterior mostra, muitas vezes não é fácil verificar diretamente via Definição 1.11 que um par de copulas é ordenado. Para copulas arquimedianas, a situação é frequentemente mais simples, pois a ordem de concordância é determinada pelas propriedades dos geradores. Para o primeiro desses resultados, precisamos da noção de uma função subaditiva.


Definição 3.2.

Uma função \(f\) definida em \([0,\infty)\) é subaditiva se, para todos \(x,y\in [0,\infty)\), \[ \tag{3.13} f(x+y)\leq f(x)+f(y)\cdot \]


O próximo teorema (Schweizer and Sklar 1983) caracteriza a ordem de concordância das copulas arquimedianas em termos da subaditividade de compostos de geradores e seus inversos.


Teorema 3.10

Sejam \(C_1\) e \(C_2\) copulas arquimedianas geradas, respectivamente, por \(\varphi_1\) e \(\varphi_2\) em \(\Omega\). Então \(C_1\prec C_2\) se, e somente se, \(\varphi_1\circ \varphi^{(-1)}_2\) for subaditivo.


Demonstração.

Seja \(f=\varphi_1\circ \varphi^{(-1)}_2\). Observe que se \(f\) é contínua, não decrescente e \(f(0) = 0\). De (3.3), \(C_1\prec C_2\) se, e somente se, para todo \(u,\nu\in{\bf I}\), \[ \tag{3.14} \varphi_1^{(-1)}\big(\varphi_1(u)+\varphi_1(\nu) \big) \leq \varphi_2^{(-1)}\big(\varphi_2(u)+\varphi_2(\nu) \big)\cdot \] Seja \(x = \varphi_2(u)\) e \(y = \varphi_2(\nu)\), então (3.14) é equivalente a \[ \tag{3.15} \varphi_1^{(-1)}\big(f(x)+f(y)\big) \leq \varphi_2^{(-1)}\big(x+y\big), \] para todo \(x,y\in [0,\varphi_2(0)]\). Além disso, se \(x > \varphi_2(0)\) ou \(y >\varphi_2(0)\), então cada lado de (3.15) é igual a 0.

Agora suponha que \(C_1\prec C_2\). Aplicando \(\varphi_1\) a ambos os lados de (3.15) e notando que \(\varphi \circ \varphi^{(-1)}(\omega)\leq \omega\) para todo \(\omega\geq 0\) produz (3.13) para todo \(x,y\in [0,\infty)\), portanto \(f\) é subaditivo. Por outro lado, se \(f\) satisfaz (3.13), então aplicando \(\varphi_1^{(-1)}\) a ambos os lados e notando que \(\varphi_1^{(-1)}\circ f=\varphi_2^{(-j)}\) produz (3.14), completando a prova.


Verificar a subaditividade de uma função como \(f=\varphi_1\circ \varphi^{(-1)}_2\) ainda pode ser tão difícil quanto verificar diretamente se um par de copulas satisfaz a Definição 1.11. Então, agora apresentamos vários corolários que fornecem condições suficientes para a subaditividade de \(\varphi_1\circ \varphi^{(-1)}_2\) e, portanto, para que a copula \(C_1\) seja menor que \(C_2\). O primeiro requer o seguinte lema de Schweizer and Sklar (1983), que relaciona a subaditividade à concavidade.


Lema 3.3

Seja \(f\) definido em \([0,\infty)\). Se \(f\) for côncavo e \(f(0) = 0\), então \(f\) é subaditivo.


Demonstração.

Seja \(x,y\in [0,\infty)\). Se \(x + y = 0\), então \(x = y = 0\), de modo que com \(f(0) = 0\), (3.13) é trivial. Então assuma \(x + y > 0\), de modo que \[ x=\dfrac{x}{x+y}(x+y)+\dfrac{y}{x+y}(0) \qquad \mbox{e} \qquad y=\dfrac{x}{x+y}(0)+\dfrac{y}{x=y}(x+y)\cdot \] Se \(f\) é côncavo e \(f(0) = 0\), então \[ f(x)\geq \dfrac{x}{x+y}f(x+y)+\dfrac{y}{x+y}f(0)=\dfrac{x}{x+y}f(x+y) \] e \[ f(y)\geq \dfrac{x}{x+y}f(0)+\dfrac{y}{x+y}f(x+y)=\dfrac{y}{x+y}f(x+y), \] do qual (3.13) segue e \(f\) é subaditivo.



Corolário 3.3:

Sob as hipóteses do Teorema 3.10, se \(\varphi_1\circ\varphi_2^{(-1)}\) é côncavo, então \(C_1\prec C_2\).


Demonstração.

Combinação do Lema 3.3 e do Teorema 3.10 produz o Corolário 3.3.



Exemplo 3.12:

Sejam \(C_1\) e \(C_2\) membros da família Gumbel-Hougaard (3.1.4) com parâmetros \(\theta_1\) e \(\theta_2\), de modo que os geradores de \(C_1\) e \(C_2\) sejam \(\varphi_1\) e \(\varphi_2\), respectivamente, onde \[ \varphi_k(t) = \big(–\ln(t)\big)^{\theta_k} \] para \(k = 1,2\). Então \(\varphi_1\circ\varphi_2^{(-1)}(t) = t^{\theta_1/\theta_2}\). Então se \(\theta_1\leq \theta_2\), então \(\varphi_1\circ\varphi_2^{(-1)}\) é côncavo e \(C_1\prec C_2\). Portanto, a família Gumbel-Hougaard é positivamente ordenada.


Outro teste útil para a ordenação de concordância de copulas arquimedianas é o seguinte resultado de Genest and MacKay (1986a).


Corolário 3.4:

Sob as hipóteses do Teorema 3.10, se \(\varphi_1/\varphi_2\) é não decrescente em (0,1), então \(C_1\prec C_2\).


Demonstração.

Seja \(g\) a função de \((0,\infty)\) a \((0,\infty)\) definida por \(g(t) =f(t)/t\), onde novamente \(f = \varphi_1\circ\varphi_2^{(-1)}\). Suponha que \(\varphi_1/\varphi_2\) não seja decrescente em \((0,\infty)\). Como \(g\circ \varphi_2 = \varphi_1/\varphi_2\) e \(\varphi_2\) é decrescente, segue-se que \(g\) não é crescente em \((0,\varphi_2(0))\) e, portanto, em \((0,\infty)\). Assim, para todo \(x,y\geq 0\), \[ x\big( g(x+y)-g(x)\big) + y\big(g(x+y)-g(y)\big)\leq 0 \] ou \(( x + y ) g( x + y ) \leq xg(x) + yg(y)\). Portanto, \(f\) é subaditivo, o que completa a prova.



Exemplo 3.13:

Sejam \(C_1\) e \(C_2\) membros da família (3.1.2) de parâmetros \(\theta_1\) e \(\theta_2\), isto é, os geradores de \(C_1\) e \(C_2\) são \(\varphi_1\) e \(\varphi_2\), respectivamente, onde \(\varphi_k(t) = (1-t)^{\theta_k}\) para \(k = 1,2\). Então \(\varphi_1(t)/\varphi_2(t) = (1-t)^{\theta_1-\theta_2}\). Então se \(\theta_1\leq \theta_2\), então \(\varphi_1/\varphi_2\) é não decrescente em (0,1) e \(C_1\prec C_2\). Portanto, esta família também é positivamente ordenada.


Outro teste, geralmente o mais fácil de usar, é o seguinte, uma extensão de um resultado em Genest and MacKay (1986a). A prova é de Alsina, Frank, and Schweizer (2006).


Corolário 3.5:

Sob as hipóteses do Teorema 3.10, se \(\varphi_1\) e \(\varphi_2\) são continuamente diferenciáveis em (0,1) e se \(\varphi'_1/\varphi'_2\) não é decrescente em (0,1), então \(C_1\prec C_2\).


Demonstração.

Como ambos \(\varphi_1\) e \(\varphi_2\) são decrescentes em (0,1), ambos \(\varphi'_1\) e \(\varphi'_2\) são negativos em (0,1). Seja \(g = \varphi_1/\varphi_2\) e \(f = \varphi'_1/\varphi'_2\) e suponha que \(f\) não seja decrescente. Como \(f\) também é contínua, \(\lim_{t\to 1^-} f(t)\) existe, finito ou infinito. Mas como \[ \lim_{t\to 1^-} \varphi_1(t) = 0 = \lim_{t\to 1^-} \varphi_2(t), \] a regra de l’Hôpital se aplica, e \(\lim_{t\to 1^-} f(t) = \lim_{t\to 1^-} g(t)\). Agora \[ \tag{3.16} g'=\dfrac{\varphi_2\varphi'_1-\varphi_1\varphi'_2}{\varphi_2}=\left(\dfrac{\varphi'_1}{\varphi'_2}-\dfrac{\varphi_1}{\varphi_2} \right)\dfrac{\varphi'_2}{\varphi_2}=(f-g)\dfrac{\varphi'_2}{\varphi_2}\cdot \] Pelo Corolário 3.4, precisamos apenas mostrar que \(g'\) é não negativo ou equivalentemente, porque \(\varphi'_2/\varphi_2\) é negativo, que \(f(t) – g(t)\leq 0\) em (0,1). Suponha que não, isto é, suponha que existe um \(t_0\) em (0,1) tal que \(f( t_0 ) – g( t_0 ) > 0\). Então \[ g(t_0)<f(t_0)\leq \lim_{t\to 1^-} f(t)=\lim_{t\to 1^-} g(t)\cdot \] Mas por (3.16), \(g'(t_0) < 0\) e portanto existe um \(t_1\) em \((t_0,1)\) tal que \(g(t_1 ) < g( t_0 )\) e \(g' ( t_1 ) = 0\). Mas então \(g( t_1 ) < g( t_0 ) < f( t_0 )\leq f( t_1 )\), de modo que por (3.16), \(g' ( t_1 ) < 0\), uma contradição.



Exemplo 3.14:

Sejam \(C_1\) e \(C_2\) membros da família Clayton (3.1.1) de parâmetros \(\theta_1\) e \(\theta_2\) e geradores \(\varphi_1\) e \(\varphi_2\), respectivamente, onde \(\varphi_k(t) = (t^{\theta_k}-1)\big/\theta_k\) para \(k = 1,2\). Então \[ \varphi'_1(t)/\varphi'_2(t) = t^{\theta_2-\theta_1}\cdot \] De maneira que, se \(\theta_1\leq \theta_2\), então \(\varphi'_1/\varphi'_2\) é não decrescente em (0,1) e \(C_1\prec C_2\). Portanto, a família Clayton também é ordenada positivamente.



Exemplo 3.15:

Sejam \(C_1\) e \(C_2\) membros da família (3.1.19) com parâmetros \(\theta_1\) e \(\theta_2\) e geradores \(\varphi_1\) e \(\varphi_2\), respectivamente, onde \(\varphi_k(t) = e^{\theta/t}-e^{\theta}\) para \(k = 1,2\). Então \[ \varphi'_1(t)/\varphi'_2(t)=\dfrac{\theta_1}{\theta_2}\exp\big( (\theta_1-\theta_2)/t\big)\cdot \] De maneira que se \(\theta_1\leq \theta_2\), então \(\varphi'_1/\varphi'_2\) não é decrescente em (0,1) e \(C_1\prec C_2\). Portanto, a família (3.1.19) é ordenada positivamente.


Se uma família totalmente ordenada de copulas é positiva ou negativamente ordenada é uma questão de gosto ou conveniência. A direção da ordem pode ser facilmente alterada por reparametrização.

Por exemplo, se o espaço de parâmetros for \((–\infty,+\infty)\) ou \((0,\infty)\), então substituir \(\theta\) por \(–\theta\) ou \(1/\theta\), respectivamente, será suficiente. Nos quatro exemplos anteriores, vimos que quatro das famílias de copulas arquimedianas da Tabela 3.1 são ordenadas.

No entanto, há famílias de copulas arquimedianas que não são ordenadas, como o próximo exemplo demonstra.


Exemplo 3.16:

A família de copulas arquimedianas (3.1.10) não é nem positiva nem negativamente ordenada. Um cálculo simples mostra que para \(\theta\in (0,1)\), \(C_{\theta/2}(u,\nu)\leq C_\theta(u,\nu)\) para \(u,\nu\in{\bf I}\) se e somente se \[ u^{\theta/2}+\nu^{\theta/2}\leq 1\cdot \]


Concluímos esta seção com dois teoremas que podem ser usados frequentemente para determinar se \(M\), \(\Pi\) ou \(W\) são membros limites de uma família arquimediana. O primeiro se aplica a limites arquimedianos como \(W\) ou \(\Pi\) e é de Genest and MacKay (1986a).

Como \(M\) não é arquimediano, nós o tratamos separadamente no segundo teorema, que também é de Genest and MacKay (1986a), a prova é de Alsina, Frank, and Schweizer (2006).


Teorema 3.11

Seja \(\big\{C_\theta \, | \, \theta\in\Theta\big\}\) uma família de copulas arquimedianas com geradores diferenciáveis \(\varphi_\theta\) em \(\Omega\). Então \(C = \lim\big(C_\theta\big)\) é uma copula arquimediana se, e somente se, existe uma função \(\varphi\) em \(\Omega\) tal que, para todo \(s,t\in (0,1)\), \[ \tag{3.17} \lim \dfrac{\varphi_\theta(s)}{\varphi'_\theta(t)}=\dfrac{\varphi(s)}{\varphi'(t)}, \] onde “lim” denota o limite unilateral apropriado à medida que \(\theta\) se aproxima de um ponto final do intervalo de parâmetros \(\Omega\).


Demonstração.

Sejam \((U_\theta,V_\theta)\) variáveis aleatórias uniformes (0,1), com função de distribuição conjunta \(C_\theta\) e seja \(K'_\theta\) a função de distribuição conjunta das variáveis aleatórias \(U_\theta\) e \(C_\theta(U_\theta,V_\theta)\). Então, dos Corolários 3.1 e 3.2; temos \[ \tag{3.18} K'_\theta(s,t)=P\big(U_\theta\leq s, \, C(U_\theta,V_\theta)\leq t \big) =t-\dfrac{\varphi_\theta(t)}{\varphi'(t)}+\dfrac{\varphi_\theta(s)}{\varphi'_\theta(t)}, \] sempre que \(0 < t < s < 1\).

Agora sejam \(U\) e \(V\) variáveis aleatórias uniformes (0,1) com função de distribuição conjunta \(C\), seja \(K'\) a função de distribuição conjunta das variáveis aleatórias \(U\) e \(C(U,V)\). Suponha que \(C = \lim C_\theta\) é uma copula arquimediana com gerador \(\varphi\in\Omega\). Segue-se agora que \[ \tag{3.19} \lim K'_\theta(s,t)=K'(s,t)=t-\dfrac{\varphi_\theta(t)}{\varphi'(t)}+\dfrac{\varphi_\theta(s)}{\varphi'_\theta(t)}, \] para \(0<t<s<1\), assim a equação (3.17) é uma consequência de (3.18) e (3.19).

Na outra direção, suponha que (3.17) seja válida. Portanto, existe um conjunto de constantes positivas \(c_\theta\) tal que para todo \(t\in (0,1]\), \(\lim c_\theta\varphi_\theta(t) =\varphi(t)\). Segue-se que o limite de \(\varphi_\theta^{(-1)}\big/c_\theta\) é \(\varphi^{(-1)}\) e assim, para \(u,\nu\in{\bf I}\), \[ \lim \varphi_\theta^{(-1)}\big(\varphi_\theta(u)+\varphi_\theta(\nu) \big)=\varphi^{(-1)}\big(\varphi(u)+\varphi(\nu) \big), \] o que completa a prova.


Como o gerador de \(W\) é \(\varphi(t) = 1 – t\), \(W\) será o limite de uma família \(\big\{C_\theta \, | \, \theta\in\Theta\big\}\) se \[ \lim \dfrac{\varphi_\theta(s)}{\varphi'_\theta(t)} = s – 1; \] e como o gerador de \(\Pi\) é \(\varphi(t) = -\ln(t)\), \(\Pi\) será o limite de uma família \(\big\{C_\theta \, | \, \theta\in\Theta\big\}\) se \[ \lim \dfrac{\varphi_\theta(s)}{\varphi'_\theta(t)} = t \, \ln(s)\cdot \]


Exemplo 3.17:

  1. Para a família de copulas arquimedianas dada por (3.1.7) na Tabela 3.1, \(\varphi_\theta(t) = - \ln\big( \theta\, t + (1 -\theta)\big)\) para \(\theta\in (0,1]\). Portanto, usando a regra de l’Hôpital, \[ \displaystyle \lim_{\theta\to 0⁺} \dfrac{\varphi_\theta(t)}{\varphi'_\theta(t)}=\lim_{\theta\to 0⁺} \dfrac{\ln\big(\theta s+(1-\theta) \big)}{\theta\big/\big(\theta t+(1-\theta) \big)}=\lim_{\theta\to 0⁺} \dfrac{\big(\theta t+(1-\theta) \big)^2(s-1)}{\theta s+(1-\theta)}=s-1, \] para \(s,t\in (0,1)\). Então, \(C_0=W\).

  2. Para a mesma família, temos \[ \displaystyle \lim_{\theta\to 1^-} \dfrac{\varphi_\theta(t)}{\varphi'_\theta(t)}=\lim_{\theta\to 1^-} \dfrac{\ln\big(\theta s+(1-\theta) \big)}{\theta\big/\big(\theta t+(1-\theta) \big)}=t\ln(s), \] para \(s,t\in (0,1)\). Então, \(C_1=\Pi\).



Teorema 3.12

Seja \(\big\{C_\theta \, | \, \theta\in\Theta \big\}\) uma família de copulas arquimedianas com geradores diferenciáveis \(\varphi_\theta\) em \(\Omega\). Então \(\lim C_\theta (u,\nu) = M(u,\nu)\) se, e somente se, \[ \lim \dfrac{\varphi_\theta(t)}{\varphi'_\theta(t)}=0, \] para \(t\in (0,1)\) onde “lim” denota o limite unilateral apropriado à medida que \(\theta\) se aproxima de um ponto final do intervalo de parâmetros \(\Omega\).


Demonstração.

Seja \(\gamma\) o ponto final de \(\Omega\) e assuma que \[ \lim \dfrac{\varphi_\theta(t)}{\varphi'_\theta(t)}=0\cdot \] Fixe um \(t\) arbitrário em (0,1) e escolha \(\epsilon\in (0,t)\). Então \(0\leq -\varphi_\theta(t)/\varphi'_\theta(t)\leq \epsilon\) para \(\theta\) suficientemente próximo de \(\gamma\), quando \(\gamma\) é finito ou para \(|\theta|\) suficientemente grande, quando \(\gamma\) é infinito. Como \(t–\varphi_\theta(t)/\varphi'_\theta(t)\) é o intercepto \(t\) da reta tangente ao gráfico de \(y = \varphi_\theta(x)\) no ponto \((t,\varphi_\theta(t))\), veja a Figura 3.13, utilizar a convexidade de \(\varphi_\theta\) para comparar as coordenadas \(y\) de \(y = \varphi_\theta(x)\) e a reta tangente acima quando \(x = t + \varphi_\theta(t)/\varphi'_\theta(t)\) produz, para esses \(\theta\), \[ \varphi_\theta\big(t+\varphi_\theta(t)/\varphi'_\theta(t) \big)\geq 2\varphi_\theta(t), \] então, \[ C_\theta(t,t)=\varphi_\theta^{(-1)}\big(2\varphi_\theta(t) \big)>t+\dfrac{\varphi_\theta(t)}{\varphi'_\theta(t)}>t-\epsilon\cdot \] Portanto, \(\lim C_\theta (t,t) = t\), de modo que \(\lim C_\theta (u,\nu) = M(u,\nu)\). O inverso ocorre invertendo o argumento.



Exemplo 3.18:

Para a família de copulas arquimedianas dada por (3.1.12) na Tabela 3.1, \[ \varphi_\theta(t) = \big((1/t)-1\big)^\theta \] para \(\theta\in [1,\infty)\) de modo que \(\varphi_\theta (t)/\varphi'_\theta (t) = ( t^2 - t)/\theta\), e portanto \(\lim_{\theta\to\infty} \varphi_\theta(t)/\varphi'_\theta(t) = 0\) para todo \(t\) em (0,1). Assim, \(C_\infty = M\).



3.5. Famílias de dois parâmetros


Nesta seção, consideraremos algumas famílias de dois parâmetros de copulas arquimedianas. A primeira subseção lida com famílias paramétricas geradas pela composição de um gerador \(\varphi\) em \(\Omega\) com a função de potência \(t\mapsto t^\theta\), \(\theta > 0\).

Na segunda subseção, consideramos uma família de dois parâmetros que contém cada copula arquimediana que é uma função racional no complemento de seu conjunto zero.


3.5.1 Famílias de geradores


Nesta seção, examinamos primeiro métodos de construção de famílias de geradores de copulas arquimedianas a partir de um único gerador \(\varphi\in\Omega\).

Suponha que \(\varphi\) seja um gerador em \(\Omega\), por exemplo, \(\varphi(t) = (1/t)–1\) ou \(\varphi(t) = –\ln(t)\). A partir de tal \(\varphi\), podemos criar famílias paramétricas de geradores, que podem então, por sua vez, ser usadas para criar famílias de copulas arquimedianas.


Teorema 3.13

Seja \(\varphi\in\Omega\); \(\alpha\), \(\beta\) números reais positivos e definamos \[ \tag{3.20} \varphi_{\alpha,1}(t)=\varphi(t^\alpha) \qquad \mbox{e} \qquad \varphi_{1,\beta}(t)=\big(\varphi(t)\big)^\beta\cdot \]

  1. Se \(\beta\geq 1\), então \(\varphi_{1,\beta}\) é um elemento de \(\Omega\).

  2. Se \(\alpha\in (0,1]\), então \(\varphi_{\alpha,1}\) é um elemento de \(\Omega\).

  3. Se \(\varphi\) for duas vezes diferenciável e \(t\varphi' (t)\) não é decrescente em (0,1), então \(\varphi_{\alpha,1}\) é um elemento de \(\Omega\) para todo \(\alpha > 0\).


Demonstração.

A prova é elementar e consiste em uma verificação direta de que as duas composições de \(\varphi\), com a função de potência, são decrescentes e convexas para os valores especificados dos parâmetros \(\alpha\) e \(\beta\).


A seguir Oakes (1994), nos referiremos a uma família de geradores \[ \big\{\varphi_{\alpha,1}\in\Omega \, \Big| \, \varphi_{\alpha,1}(t) = \varphi(t^\alpha)\big\} \] como a família de potência interna associada a \(\varphi\) e uma família \[ \big\{\varphi_{1,\beta}\in\Omega \, \Big| \, \varphi_{1,\beta}(t) = \big(\varphi(t)\big)^\beta\big\} \] como a família de potência externa associada a \(\varphi\).

Denotamos por \(C_{\alpha,1}\) e \(C_{1,\beta}\) as copulas geradas por \(\varphi_{\alpha,1}\) e \(\varphi_{1,\beta}\), respectivamente.


Exemplo 3.19:

A família de potência interna ou interior associada a \(\varphi(t) = (1/t) – 1\) para \(\alpha > 0\) gera uma subfamília da família Clayton (3.1.1) na Tabela 3.1; e a família de potência exterior associada a \(\varphi(t) = –\ln(t)\) gera a família Gumbel-Hougaard (3.1.4) na Tabela 3.1.

Outras famílias de potência interior incluem (3.1.9), (3.1.10), (3.1.20) e (3.1.22); e outras famílias de potência exterior incluem (3.1.2) e (3.1.12).


O próximo exemplo ilustra a facilidade com que famílias de dois parâmetros de copulas arquimedianas podem ser construídas usando o Teorema 3.13 para adicionar um parâmetro a uma das famílias de um parâmetro na Tabela 3.1.


Exemplo 3.20: (Fang, Fang, and Rosen 2000)

Para \(\theta\in [–1,1]\), a função geradora \(\varphi_\theta(t) = \ln\big(\big((1 - \theta(1 - t)\big)/t\big)\), com \(\varphi_1(t) = (1/t) – 1\), gera uma copula Ali-Mikhail-Haq, (3.1.3) na Tabela 3.1. Como \(t\varphi'_\theta(t)\) não é decrescente para \(\theta\) em [0,1], a família de potência interna gerada por \(\varphi_\theta\) é a família de dois parâmetros dada por \[ C_{\theta;\, \alpha,1}(u,\nu)=\dfrac{u\, \nu}{\big(1-\theta(1-u^{1/\alpha})(1-\nu^{1/\alpha}) \big)^\alpha}, \] para \(u,\nu\in{\bf I}\), \(\alpha>0\), \(0\leq \theta\leq 1\).

Esta família também aparece em Genest and Rivest (2001). Observe que \(C_{0;\,\alpha,1} = \Pi\) e que \(C_{1;\,\alpha,1}\) é um membro da família Clayton (3.1.1).



Exemplo 3.21:

Sejam \((X_1,Y_1),(X_2,Y_2),\cdots,(X_n,Y_n)\) pares independentes e identicamente distribuídos de variáveis aleatórias com uma copula arquimediana comum \(C\) com gerador \(\varphi\). Seja \(C_{(n)}\) a copula dos máximos componentes \(X_{(n)} = \max\{X_i\}\) e \(Y_{(n)} = \max\{Y_i\}\).

Do Teorema 2.11 temos \[ C_{(n)}(u,\nu)=\Big(\varphi^{(-1)}\big(\varphi(u^{1/n})+\varphi(\nu^{1/n})\big) \Big)^n \] para \(u,\nu\in{\bf I}\).

O gerador de \(C_{(n)}\) é \(\varphi_{1/n,1}(t) = \varphi(t^{1/n})\) e assim a copula dos máximos componentes é um membro da família de potência interna gerada por \(\varphi\).


No Exemplo 2.22, observamos que cada copula de Gumbel-Hougaard é max-estável e, portanto, uma copula de valor extremo. Existem outras copulas de valor extremo arquimedianas? A resposta é não (Genest and Rivest 1989).


Teorema 3.14

As copulas de Gumbel-Hougaard (3.1.4) são as únicas copulas de valor extremo arquimedianas.


Demonstração.

Suponha que \(\varphi\) gera uma copula de valor extremo arquimediano \(C\). Da parte 3 do Teorema 3.2, podemos assumir que \(\varphi\)j é dimensionado de modo que \(\varphi(1/e) = 1\). Como \(C\) é max-estável, temos \(\varphi(t^s) = c_s\varphi(t)\) para \(s > 0\), \(t\in (0,1]\); substituímos \(1/r\) na Definição 2.1 por \(s\), por conveniência.

Agora seja \(x = –\ln(t)\), então \(\varphi(e^{-sx}) = c_s\varphi(e^{-x})\), de modo que se definirmos \(g(x) = \varphi(e^{-x})\), então \(g(sx) = c_s g(x)\) para \(s,x > 0\). Como \(g(1) = 1\), \(c_s = g(s)\) e temos \(g(sx) = g(s)g(x)\) para \(s,x > 0\). Esta é uma variante da equação de Cauchy, a solução para o qual (Aczél 1966) é \(g(x) = x^\theta\). Portanto \(\varphi(t) = g\big(–\ln(t)\big) = \big(-\ln(t)\big)^\theta\), que gera a família Gumbel-Hougaard (3.1.4).


Como os exemplos na Seção 3.4 ilustram, muitas das famílias de potências internas e externas das copulas arquimedianas são ordenadas.


Teorema 3.15

Seja \(\varphi\in\Omega\) e sejam \(\varphi_{\alpha,1}\) e \(\varphi_{1,\beta}\) dados por (3.20). Assuma ainda que \(\varphi_{\alpha,1}\) e \(\varphi_{1,\beta}\) gerem copulas \(C_{\alpha,1}\) e \(C_{1,\beta}\), respectivamente. Segue-se que \(\beta\geq 1\) e que \(\alpha\) é um elemento de um subconjunto \(\mathcal{A}\) de \((0,\infty)\), que inclui (0,1].

  1. Se \(1\leq \beta_1\leq \beta_2\), então \(C_{1,\beta_1}\prec C_{1,\beta_2}\).

  2. Se \(\varphi\Big(\big(\varphi^{(-1)}(t)\big)^\theta\Big)\) é subaditivo para todo \(\theta\in (0,1)\) e se \(\alpha_1\), \(\alpha_2\) estão em \(\mathcal{A}\), então \(\alpha_1\leq \alpha_2\) implica \(C_{\alpha_1,1}\prec C_{\alpha_2,1}\).


Demonstração.

A Parte 1 segue do Corolário 3.4, porque quando \(\beta_1\leq\beta_2\), \(\varphi_{1,\beta_1}(t)\big/\varphi_{1,\beta_2}(t) = \big(\varphi(t) \big)^{\beta_1-\beta_2}\) é não decrescente. A Parte 2 segue do Teorema 3.10, porque \[ \varphi_{\alpha_1,1}\circ \varphi_{\alpha_2,1}^{(-1)}(t)=\varphi\Big(\big(\varphi^{(-1)}(t)\big)^{\alpha_1/\alpha_2} \Big)\cdot \]



Exemplo 3.22:

Seja \(\varphi(t) = (1/t) – 1\) e considere as copulas \(C_{\alpha,1}\) geradas por \(\varphi_{\alpha,1}\) para \(\alpha > 0\); esta é a família (3.1.1) da Tabela 3.1. Aqui \[ \varphi\Big(\big(\varphi^{(-1)}(t)\big)^\theta \Big)=(t+1)^\theta-1; \] que é côncavo em (0,1) e \(\varphi\Big(\big(\varphi^{(-1)}(0)\big)^\theta \Big)=0\). Portanto, pelo Lema 3.3 e parte 2 do teorema acima, esta família é positivamente ordenada o que, é claro, foi mostrado anteriormente, no Exemplo 3.13.


Note que cada família de potência exterior de copulas arquimedianas é positivamente ordenada. Este definitivamente não é o caso para famílias de potência interior — lembre-se do Exemplo 3.16, onde foi mostrado que a família de potência interior (3.1.10) não é ordenada.


Corolário 3.6:

Sob as hipóteses do Teorema 3.15, se \(\varphi'_\alpha/\varphi_\alpha\) não é crescente em \(\alpha\), então \(\alpha_1\leq \alpha_2\) implica \(C_{\alpha_1,1}\prec C_{\alpha_2,1}\)


Demonstração.

Exercício.


Um exame da Tabela 3.1 mostra que todas as famílias de potência interna na tabela incluem \(\Pi\) como um caso limite, enquanto todas as famílias de potência externa incluem \(M\) como um caso limite.


Teorema 3.16

Seja \(\varphi\in\Omega\) e sejam \(\varphi_{\alpha_1,1}\) e \(\varphi_{1,\beta}\) dados por (3.20). Assuma ainda que \(\varphi_{\alpha,1}\) e \(\varphi_{1,\beta}\) geram copulas \(C_{\alpha,1}\) e \(C_{1,\beta}\), respectivamente, onde \(\beta\geq 1\) e \(\alpha\) é um elemento de um subconjunto de \((0,\infty)\) que inclui (0,1].

  1. Se \(\varphi\) for continuamente diferenciável e \(\varphi'(1)\neq 0\), então \[ C_{0,1}(u,\nu)=\lim_{\alpha\to 0^+} C_{\alpha,1}(u,\nu)=\Pi(u,\nu)\cdot \]

  2. \[ C_{0,\infty}(u,\nu)=\lim_{\beta\to\infty} C_{1,\beta}(u,\nu)=M(u,\nu)\cdot \]


Demonstração.

Utilizar os Teoremas 3.11 e 3.12.


Estamos agora em condições de criar famílias de dois parâmetros de copulas arquimedianas usando geradores que são os compostos dados por \[ \tag{3.21} \varphi_{\alpha,\beta}(t)=\big(\varphi(t^\alpha)\big)^\beta\cdot \]

Ilustramos o procedimento por meio de dois exemplos.


Exemplo 3.23:

A função \(\varphi(t) = (1/t) – 1\) gera a copula \[ C(u,\nu) = \dfrac{u\, \nu}{u +\nu - u\, \nu}, \] que denotamos “\(\Pi(\Sigma-\Pi)\)” na Tabela 3.1.

Usando (3.21), agora seja \(\varphi_{\alpha,\beta}(t) = ( t^{-\alpha} - 1)^\beta\) para \(\alpha > 0\), \(\beta\geq 1\). Isso gera a família de dois parâmetros de copulas arquimedianas \[ \tag{3.22} C_{\alpha,\beta}(u,\nu)=\Big(\big((u^{-\alpha}-1)^\beta+(\nu^{-\alpha}-1)^{\beta} \big)^{1/\beta} +1\Big)^{-1/\alpha}\cdot \]

Usando o Teorema 3.16, podemos estender o intervalo de parâmetros para incluir \(\alpha = 0\) e \(\beta = \infty\) porque \(C_{0,1} = \Pi\), \(C_{0,\beta}\) é a família Gumbel (3.1.4) na Tabela 3.1 e \(C_{\alpha,\infty} = M\).

Além disso, a subfamília \(C_{\alpha,1}\) é a porção \(\theta\geq 1\) da família Clayton (3.1.1) na Tabela 3.1 e para \(\alpha = 1/\beta\), \(\beta\geq 1\), obtemos a família (3.1.14). A partir do Teorema 3.15 pode-se verificar que esta família é positivamente ordenada por ambos os parâmetros, ou seja, se \(\alpha_1\leq \alpha_2\) e \(\beta_1\leq\beta_2\), então \(C_{\alpha_1,\beta_1}\prec C_{\alpha_2,\beta_2}\).

Esta família tem sido usada como uma família de copulas de sobrevivência para um modelo Weibull bivariado, veja Lu and Bhattacharyya (1990) para detalhes.



Exemplo 3.24:

Seja \(\varphi(t)=1-t\), o gerador de \(W\). Utilizando (3.21), seja \[ \varphi_{\alpha,\beta}(t)=\big(1-t^\alpha \big)^\beta, \quad \alpha\in (0,1], \; \beta\geq 1\cdot \] Isso gera a família de dois parâmetros de copulas arquimedianas \[ \tag{3.23} C_{\alpha,\beta}(u,\nu)=\max\left\{ \Big(1-\big((1-u^\alpha)^\beta+(1-\nu^\alpha)^\beta \big)^{1/\beta} \Big)^{1/\alpha},0\right\}\cdot \]

Observe que \(C_{1,1} = W\), \(C_{0,1} = \Pi\) e \(C_{\alpha,\infty} = M\).

Quatro subfamílias de (3.23) aparecem na Tabela 3.1: para \(\beta = 1\), obtemos a situação em que \(\theta\in (–1,0]\) de (3.1.1); para \(\alpha = 1\), temos a família (3.1.2); para \(\alpha\beta = 1\), temos a família (3.1.15); e no limite quando \(\alpha\) tende a zero, temos a família (3.1.4). Assim como no exemplo anterior, esta família também é ordenada positivamente por ambos os parâmetros.


Famílias de um parâmetro de copulas arquimedianas não na Tabela 3.1 podem ser construídas a partir de famílias de dois parâmetros, como aquelas nos exemplos acima.

Por exemplo, defina \(\beta = \alpha + 1\), \(\alpha\geq 0\) em (3.22) ou \(\beta = 1/(1-\alpha)\), \(0\leq \alpha < 1\) em (3.22) ou (3.23); em cada instância obtemos uma família de um parâmetro que é positivamente ordenada e inclui \(\Pi\) e \(M\) como casos limites.

Outras escolhas para \(\varphi\) em (3.21) levam a outras famílias de dois parâmetros. Por exemplo, \[ \begin{array}{rcl} \varphi(t) & = & (1 - t)/ (1 + t),\\[0.8em] \varphi(t) & = & \ln\big(1- \ln(t)\big),\\[0.8em] \varphi(t) & = & (1/t) - t,\\[0.8em] \varphi(t) & = & \exp\big((1/t) - 1\big) - 1 \end{array} \] e assim por diante.


3.5.2. Copulas de Arquimedes racionais


Na Tabela 3.1, podemos encontrar famílias de copulas arquimedianas que são funções racionais em \({\bf I}^2\setminus \mathbb{Z}(C)\), ou seja, copulas \(C(u,\nu)\) tais que se \(C(u,\nu) > 0\), então \[ C(u,\nu) = \dfrac{P(u,\nu)}{Q(u,\nu)}, \] onde \(P\) e \(Q\) são polinômios — por exemplo, famílias (3.1.3), (3.1.7) e (3.1.8). Existem outras?

Chamamos essas copulas de racionais e respondemos à pergunta afirmativamente construindo uma família de dois parâmetros de todas as copulas arquimedianas racionais.

Como as copulas arquimedianas devem ser simétricas e associativas; lembre-se do Teorema 3.2, nosso ponto de partida é o seguinte teorema.


Teorema 3.17

Seja \(R\) uma função real racional de 2 lugares reduzida aos termos mais baixos, ou seja, seja \[ R(u,\nu) = \dfrac{P(u,\nu)}{Q(u,\nu)}, \] onde \(P\) e \(Q\) são polinômios primos, nenhum dos quais é identicamente zero. Então \(R\) é simétrico e associativo se, e somente se, \[ \tag{3.24} R(u,\nu)=\dfrac{a_1 u\, \nu+b_1(u+\nu)+c_1}{a_2+b_2(u+\nu)+c_2u\, \nu}, \] onde \[ \tag{3.25} \begin{array}{rcl} b_1 b_2 & = & c_1 c_2,\\[0.8em] b_1^2 + b_2 c_1 & = & a_1 c_1+a_2 b_1, \\[0.8em] b_2^2+b_1 c_2 & = & a_2 c_2 + a_1 b_2\cdot \end{array} \]


Demonstração.

Ver Alsina, Frank, and Schweizer (2006).


Agora seja \(C\) uma função com domínio \({\bf I}^2\) dado por (3.24) e (3.25) no complemento de seu conjunto zero. Para que \(C\) seja uma copula, devemos impor mais restrições aos seis coeficientes em (3.25).

A condição de contorno \(C(u,1) = u\) requer \(R(u,1) = u\), ou equivalentemente, \[ (b_2+c_2)u^2+(a_2+b_2-a_1-b_1)u+(b_1+c_1) = 0, \] para todo \(u\in{\bf I}\). Então, \(c_1=-b_1\), \(c_2=-b_2\) e \(a_1+b_1=a_2+b_2\) e, então \[ R(u,\nu)=\dfrac{(a_1+b_1) u\, \nu+b_1(1-u)(1-\nu)}{(a_2+b_2)-b_2(1-u)(1-\nu)}\cdot \]

Como \(R\) não é constante, temos \(a_1 + b_1 = a_2 + b_2\neq 0\) e, ao definir \(\alpha = b_2/(a_2 + b_2 )\) e \(\beta = b_1/ ( a_1 + b_1 )\) , segue-se que no complemento de seu conjunto nulo, uma copula arquimediana racional deve ter a forma \[ \tag{3.26} C_{\alpha,\beta}(u,\nu)=\dfrac{u\, \nu-\beta(1-u)(1-\nu)}{1-\alpha(1-u)(1-\nu)} \] para valores apropriados de \(\alpha\) e \(\beta\).

Para encontrar os valores de \(\alpha\) e \(\beta\) de modo que \(C_{\alpha,\beta}\) em (3.26) seja uma copula, primeiro encontraremos uma função \(\varphi_{\alpha,\beta}\) que gere \(C_{\alpha,\beta}\) e então determinaremos \(\alpha\) e \(\beta\) de modo que \(\varphi_{\alpha,\beta}\) seja contínua, estritamente decrescente e convexa em (0,1).

Para encontrar um candidato para \(\varphi_{\alpha,\beta}\), apelamos ao Teorema 3.9: Se \(C_{\alpha,\beta}\) for uma copula arquimediana, então seu gerador \(\varphi_{\alpha,\beta}\) deve satisfazer \[ \dfrac{\varphi'_{\alpha,\beta}(u)}{\varphi'_{\alpha,\beta}(\nu)}=\dfrac{\alpha\nu^2+(1-\alpha-\beta)\nu+\beta}{\alpha u^2+(1-\alpha-\beta)u+\beta}, \] para que \[ \tag{3.27} \varphi'_{\alpha,\beta}(t)=\dfrac{-c_{\alpha,\beta}}{\alpha t^2+(1-\alpha-\beta)t+\beta} \] e \[ \varphi''_{\alpha,\beta}(t)=\dfrac{c_{\alpha,\beta}\big(2\alpha t+(1-\alpha-\beta)\big)}{\big(\alpha t^2+(1-\alpha-\beta)t+\beta \big)^2} \] onde \(c_{\alpha,\beta}\) é uma constante.


Teorema 3.18

A função \(C_{\alpha,\beta}\) definida em \({\bf I}^2\) como \[ \tag{3.28} C_{\alpha,\beta}(u,\nu)=\max\left\{\dfrac{u\, \nu+\beta(1-u)(1-\nu)}{1-\alpha(1-u)(1-\nu)} , 0\right\} \] é uma copula racional arquimediana se, e somente se, \(0\leq \beta\leq 1-|\alpha|\).


Demonstração.

Assuma que \(\varphi'_{\alpha,\beta}(t)<0\) e \(\varphi''_{\alpha,\beta}(t) > 0\) em (0,1). Como \(\varphi'_{\alpha,\beta}(0^+)=-c_{\alpha,\beta}/\beta\) e \(\varphi'_{\alpha,\beta}(1^-) = -c_{\alpha,\beta}\), temos que \(c_{\alpha,\beta} > 0\) e \(\beta\geq 0\). Então \(\varphi''_{\alpha,\beta}(t) > 0\) se \(2\alpha t + (1-\alpha-\beta) > 0\) para \(t\) em (0,1), o que requer que \(\alpha + \beta\leq 1\) e \(\beta – \alpha\leq 1\).

Por outro lado, as condições \(\beta\geq 0\), \(\alpha + \beta\leq 1\) e \(\beta – \alpha\leq 1\) ou, equivalentemente, \(0\leq \beta\leq 1-|\alpha|\) são suficientes para garantir que \(2\alpha t + (1-\alpha-\beta ) > 0\), o que por sua vez implica que o denominador de (3.27) seja estritamente positivo em (0,1) e, portanto, com \(c_{\alpha,\beta} > 0\), para dar \(\varphi'_{\alpha,\beta}(t) < 0\) e \(\varphi''_{\alpha,\beta}(t) > 0\) em (0,1).

Assim, (3.27) tem uma solução \(\varphi_{\alpha,\beta}(t)\) que é contínua, estritamente decrescente, convexa em \({\bf I}\) e que gera \(C_{\alpha,\beta}\) em (3.26).


Observe que \(C_{0,0}=\Pi\), \(C_{0,1}=W\) e \(C_{1,0}=\Pi/(\Sigma-\Pi)\).

O espaço de parâmetros de \(C_{\alpha,\beta}\) consiste nos pontos no plano \(\alpha,\beta\) que estão sobre e dentro do triângulo com vértices (–1,0), (0,1) e (1,0), conforme ilustrado na Figura 3.14. A curva no primeiro quadrante desempenhará um papel quando discutirmos os geradores de \(C_{\alpha,\beta}\).

Figura 3.14. O espaço de parâmetros de \(C_{\alpha,\beta}\) dado em (3.28).


Corolário 3.7:

Uma copula arquimediana racional é estrita se, e somente se, \(\beta = 0\) em (3.28), ou seja, se, e somente se, for um membro da família Ali-Mikhail-Haq (3.1.3).


Demonstração.

Quando \(C_{\alpha,\beta}\) é uma copula arquimediana racional, o Exercício 87 nos diz que \(C_{\alpha,\beta}0\) é estrito se, e somente se, \(C_{\alpha,\beta}(u,\nu)>0\) para \(u,\nu\in (0,1]\), o que é equivalente a \(\beta = 0\) em (3.28).


Quando \(\beta = 1\), \(\alpha = 0\) e \(C_{0,1} = W\). Quando \(\beta\) está em (0,1), a curva zero de \(C_{\alpha,\beta}\) é uma porção do gráfico de \(u\, \nu - \beta (1 - u )(1 - \nu ) = 0\), uma hipérbole retangular com assíntotas \(u = -\beta/(1 - \beta)\) e \(\nu = -\beta/(1 - \beta )\), um ramo do qual passa por (0,1) e (1,0). De fato, todas as curvas de nível de \(C_{\alpha,\beta}\) para \(\beta\) em [0,1) são porções de hipérboles — veja Exercício 104.

Para obter uma expressão explícita para o gerador de \(C_{\alpha,\beta}\), precisamos apenas integrar ambos os lados da equação (3.27) para encontrar \(\varphi_{\alpha,\beta}\). Há três casos a serem considerados, dependendo se o discriminante \(\Delta = (1 - \alpha - \beta )^2 - 4\alpha\beta\) do quadrático no denominador de \(\varphi'_{\alpha,\beta}( t)\) em (3.27) é positivo, zero ou negativo.

Mas dentro do espaço de parâmetros de \(\alpha\) e \(\beta\), ilustrado na Figura 3.14, \(\Delta = 0\) se, e somente se, \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} = 1\), ou seja, se e somente se o ponto \((\alpha,\beta)\) estiver na curva no primeiro quadrante da Figura 3.14, uma porção de uma parábola cujo eixo é \(\beta = \alpha\). Além disso, \(\Delta > 0\) se, e somente se, \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} < 1\), ou seja, para \((\alpha,\beta)\) estiver abaixo e à esquerda da curva; e \(\Delta < 0\) se, e somente se, \(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} > 1\), ou seja, para \((\alpha,\beta)\) acima e à direita da curva.

Agora é uma questão simples exibir os geradores \(\varphi_{\alpha,\beta}\) explicitamente: \[ \varphi_{\alpha,\beta}(t)=\left\{ \begin{array}{ccl} \dfrac{1-t}{1+t\sqrt{\alpha/\beta}}, & \mbox{quando} & \sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}=1, \\[0.8em] \ln\left(\dfrac{2-\big(1+\alpha-\beta-\sqrt{-\Delta} \big)(1-t)}{2-\big(1+\alpha-\beta+\sqrt{-\Delta} \big)(1-t)} \right), & \mbox{quando} & \sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}<1, \\[0.8em] \arctan\left(\dfrac{(1-t)\sqrt{-\Delta}}{2-(1+\alpha-\beta)(1-t)} \right) & \mbox{quando} & \sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}>1, \\[0.8em]\end{array}\right. \]

Concluímos esta seção exibindo algumas das subfamílias de um parâmetro de copulas racionais arquimedianas.

  1. Quando \(\beta = 0\), obtemos a família Ali-Mikhail-Haq (3.1.3) com \(\theta = \alpha\).

  2. Quando \(\alpha=0\), obtemos a família (3.1.7) com \(\theta=1-\beta\).

  3. Quando \(\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}=1\), obtemos a família (3.1.8) com \(\theta=1/\sqrt{\beta}\).

  4. Quando \(\beta-\alpha=1\), temos que \(\theta=-\alpha=1-\beta\) com \(\theta\in [0,1]\) para obter a família \[ C_\theta(u,\nu)=\max\left(\dfrac{u\, \nu-(1-\theta)(1-u)(1-\nu)}{1+\theta(1-u)(1-\nu)}, 0\right) \] com geradores \[ \varphi_\theta(t)=\ln\left(\dfrac{1+\sqrt{\theta}(1-t)}{1-\sqrt{\theta}(1-t)}\right)\cdot \]

  5. Quando \(\alpha+\beta=1\), temos \(\theta=\alpha=1-\beta\) com \(\theta\in [0,1]\) para obter a família \[ C_\theta(u,\nu)=\max\left(\dfrac{u\, \nu-(1-\theta)(1-u)(1-\nu)}{1+\theta(1-u)(1-\nu)}, 0\right) \] com geradores \[ \varphi_\theta(t)=\arctan\left(\dfrac{(1-t)\sqrt{\theta(1-\theta)}}{1-\theta(1-t)}\right)\cdot \]

Observe que \(C_0=W\) e que \(C_1=\Pi/(\Sigma-\Pi)\).


3.6. Copulas de Arquimedes multivariadas


Agora voltamos nossa atenção para a construção de \(n\)-copulas arquimedianas. Lembre-se do Exemplo 3.2(a), no qual escrevemos a copula do produto \(\Pi\) na forma \[ \Pi(u,\nu) = u\, \nu = \exp\Big(-\big(-\ln(u)+(-\ln(\nu))\big)\Big)\cdot \]

A extensão dessa ideia para \(n\) dimensões, com \(\pmb{u}=(u_1,u_2,\cdots,u_n)\), resulta na escrita da copula do produto \(n\)-dimensional \(\Pi^n\) na forma \[ \Pi^n(\pmb{u})=\exp\Big(-\big(-\ln(u_1)+(-\ln(u_2))+\cdots+(-\ln(u_n))\big)\Big)\cdot \]

Isso leva naturalmente à seguinte generalização de (4.1.3): \[ \tag{3.29} C^n(\pmb{u})=\varphi^{(-1)}\big(\varphi(u_1)+\varphi(u_2)+\cdots+\varphi(u_n) \big), \] onde o sobrescrito em \(C\) denota a dimensão.

As funções \(C^n\) em (3.29) são as iterações seriais Schweizer and Sklar (1983) da 2-copula arquimediana gerada por \(\varphi\), isto é, se definirmos \[ C^2(u_1,u_2) = C(u_1 , u_2 ) = \varphi^{(-1)}\big(\varphi(u_1 ) +\varphi( u_2 )\big), \] então para \(n\geq 3\), \[ C^n ( u_1 , u_2 ,\cdots , u_n ) = C\big( C^{n - 1} ( u_1 , u_2 ,\cdots , u_{n - 1} ) , u_n\big), \] lembre-se do Teorema 3.2, no qual afirma-se que as copulas arquimedianas são simétricas e associativas.

Mas observe que essa técnica de composição de copulas geralmente falha, como foi ilustrado na Seção 2.4. Usar \(\varphi(t) = 1- t\) em (3.29) gera \(W^n\) e \(W^n\) falha em ser uma copula para qualquer \(n > 2\) (Exercício 74). O Teorema 3.1 fornece as propriedades de \(\varphi\), contínuo, estritamente decrescente e convexo, com \(\varphi(1) = 0\), necessárias para \(C^n\) em (3.29) seja uma copula para \(n = 2\).

Quais propriedades adicionais de \(\varphi\) e \(\varphi^{(-1)}\) garantirão que \(C^n\) em (3.29) seja uma copula para \(n\geq 3\)?

Uma resposta envolve as derivadas de \(\varphi^{(-1)}\) e requer que essas derivadas alternem em sinal.


Definição 3.3. (Widder 1941)

Uma função \(g(t)\) é completamente monótona em um intervalo \(J\) se ela for contínua ali e tiver derivadas de todas as ordens que se alternam em sinal, ou seja, se ela satisfaz \[ \tag{3.30} (-1)^k \dfrac{\mbox{d}^k}{\mbox{d}t^k} g(t)\geq 0 \] para todo \(t\) no interior de \(J\) e \(k = 0,1,2,\cdots\).


Como consequência, se \(g(t)\) é completamente monotônico em \([0,\infty)\) e \(g(c) = 0\) para algum (finito) \(c > 0\), então \(g\) deve ser identicamente zero em \([0,\infty)\) (Widder 1941).

Então, se a pseudo-inversa \(\varphi^{(-1)}\) de um gerador arquimediano \(\varphi\) for completamente monotônico, ele deve ser positivo em \([0,\infty)\), ou seja, \(\varphi\) é estrito e \(\varphi^{(-1)} = \varphi^{-1}\).

O teorema a seguir (Kimberling 1974) fornece condições necessárias e suficientes para um gerador estrito \(\varphi\) gerar \(n\)-copulas arquimedianas para todos os \(n\geq 2\).


Teorema 3.19

Seja \(\varphi\) uma função contínua estritamente decrescente de \({\bf I}\) a \([0,\infty]\), tal que \(\varphi(0) = \infty\) e \(\varphi (1) = 0\) e seja \(\varphi^{-1}\) a inversa de \(\varphi\). Se \(C^n\) é a função de \({\bf I}^n\) a \({\bf I}\) dada por (3.29), então \(C^n\) é uma \(n\)-copula para todo \(n\geq 2\) se, e somente se, \(\varphi^{-1}\) é completamente monotônico em \([0,\infty)\).


Demonstração.

Ver Schweizer and Sklar (1983), Alsina, Frank, and Schweizer (2006).



Exemplo 3.25:

Seja \(\varphi_\theta(t) = t^{-\theta}-1\) para \(\theta > 0\), o que gera uma subfamília da família Clayton bivariada (3.1.1), a subfamília cujos geradores são estritos.

Aqui \(\varphi_\theta^{-1}(t) = (1 + t)^{-1/\theta}\), que é facilmente demonstrado ser completamente monotônico em \([0,\infty)\). Assim, podemos generalizar a família Clayton de 2-copulas para uma família de \(n\)-copulas para \(\theta > 0\) e qualquer \(n\geq 2\): \[ C_\theta^n(\pmb{u})=\Big(u_1^{-\theta}+u_2^{-\theta}+\cdots+u_n^{-\theta} \Big)^{-1/\theta} \]


Observe que a subfamília da família Clayton (3.1.1) de copulas considerada no exemplo anterior contém apenas copulas maiores que \(\Pi\). O corolário a seguir garante que isso deve ocorrer quando \(\varphi^{-1}\) é completamente monotônico.


Corolário 3.8:

Se a inversa \(\varphi^{-1}\) de um gerador estrito \(\varphi\) de uma copula arquimediana \(C\) for completamente monotônico, então \(C\succ \Pi\).


Demonstração.

Como consequência do Exercício 99, precisamos apenas mostrar que \(-\ln\big(\varphi^{-1}\big)\) é côncavo em \((0,\infty)\). Isso é equivalente a exigir que, considerando \(g\) denotar \(\varphi^{-1}\) para simplificar; \(g\times g'' -(g')^2\geq 0\) em \((0,\infty)\). Mas essa desigualdade vale para funções completamente monotônicas (Widder 1941).


Três resultados úteis adicionais são os seguintes — o primeiro é de Widder (1941), os próximos dois são de Feller (1971):

  1. Se \(g\) é completamente monotônico e \(f\) é absolutamente monotônico, ou seja, \(\mbox{d}^k f(t)/\mbox{d}t^k\geq 0\) para \(k = 0,1,2,\cdots\), então a composta \(f\circ g\) é completamente monotônico;

  2. Se \(f\) e \(g\) são completamente monotônicos, então seu produto \(f\times g\) também o é;

  3. Se \(f\) é completamente monotônico e \(g\) é uma função positiva com uma derivada completamente monótona, então \(f\circ g\) é completamente monotônico. Em particular, \(e^{-g}\) é completamente monotônico.


Exemplo 3.26:

Seja \[ \varphi_\theta (t) = -\ln\Big((e^{-\theta t}-1)\big/(e^{-\theta}-1)\Big), \] que gera a família Frank bivariada (3.1.5). Embora todos os geradores desta família sejam estritos, devemos, como consequência do Corolário 3.8, restringir \(\theta\) a \((0,\infty)\), os valores de \(\theta\) para os quais \(C_\theta\succ \Pi\).

Para a família Frank, \(\varphi_\theta^{-1}(t)\) é dada por \[ \varphi_\theta^{-1}(t)=-\dfrac{1}{\theta}\ln\left( 1-(1-e^{-\theta})e^{-t}\right)\cdot \]

Mas para \(\theta > 0\), a função \(f(x) = -\ln(1-x)/\theta\) é absolutamente monotônica para \(x\) em \((0,1)\) e \(g(t) = (1- e^{-\theta} )e^{-t}\) é completamente monotônica para \(t\) em \([0,\infty)\), do qual se segue que \(\varphi_\theta^{-1}\) é completamente monotônico em \([0,\infty)\). Assim, para \(\theta > 0\), podemos generalizar a família de Frank de 2-copulas para uma família de \(n\)-copulas para qualquer \(n\geq 2\): \[ C_\theta^n(\pmb{u})=-\dfrac{1}{\theta}\ln\left( 1+\dfrac{\big(e^{-\theta u_1}-1 \big)\big(e^{-\theta u_2}-1 \big)\cdots \big(e^{-\theta u_n}-1 \big)}{\big(e^{-\theta}-1 \big)^{n-1}}\right)\cdot \]

Quando \(\theta < 0\), \(\varphi_\theta^{-1}\) não é completamente monotônico.



Exemplo 3.27:

Seja \(\varphi_\theta(t) = \big(-\ln(t)\big)^\theta\), \(\theta\geq 1\), que gera a família Gumbel-Hougaard bivariada (3.1.4). Aqui \(\varphi^{-1}(t) = \exp\big(-t^{1/\theta}\big)\).

Mas como \(e^{-x}\) é completamente monotônico e \(t^{1/\theta}\) é uma função positiva com uma derivada completamente monotônica, \(\varphi^{-1}\) é completamente monotônico. Assim, podemos generalizar a família Gumbel-Hougaard de 2-copulas para uma família de \(n\)-copulas para \(\theta\geq 1\) e qualquer \(n\geq 2\): \[ C_\theta^n(\pmb{u})=\exp\left(-\Big( \big(-\ln(u_1)\big)^\theta+\big(-\ln(u_2)\big)^\theta+\cdots+\big(-\ln(u_n)\big)^\theta \Big)^{1/\theta}\right)\cdot \]


Outras famílias na Tabela 3.1 podem ser estendidas para \(n\)-copulas, para valores do parâmetro \(\theta\) para os quais \(C_\theta\) é maior que \(\Pi\). Veja o Exercício 106.

O procedimento no exemplo anterior pode ser generalizado para qualquer família de potência externa de geradores associados a um gerador estrito \(\varphi\) cujo inversa é completamente monotônico.


Lema 3.4

Seja \(\varphi\) um gerador estrito cuja inversa é completamente monotônico em \([0,\infty)\) e defina \(\varphi_{1,\beta}(t) =\big(\varphi(t)\big)^\beta\) para \(\beta\geq 1\). Então \(\varphi_{1,\beta}^{-1}\) é completamente monotônico em \([0,\infty)\).


Demonstração.

Exercício.



Exemplo 3.28:

A família de dois parâmetros de copulas apresentada no Exemplo 3.25 pode ser estendida para uma família de dois parâmetros de \(n\)-copulas.

Seja \(\varphi_{\alpha,\beta}(t) = \big(t^{-\alpha}-1\big)^\beta\) para \(\alpha > 0\), \(\beta\geq 1\). Como a inversa de \(\varphi_{\alpha,1} (t) = t^{-\alpha} - 1\) é completamente monotônico em \([0,\infty)\) (veja o Exemplo 3.25), o Lema 3.4 garante que \(\varphi_{\alpha,\beta}^{-1}\) seja completamente monotônico. Portanto \[ C_{\alpha,\beta}^n(\pmb{u})\left(\Big( \big(u_1^{-\alpha}-1 \big)^\beta+\big(u_2^{-\alpha}-1 \big)^\beta +\cdots+\big(u_n^{-\alpha}-1 \big)^\beta \Big)^{1/\beta}+1\right)^{-1\/\alpha}, \] é uma \(n\)-copula para \(\alpha>0\), \(\beta\geq 1\) e cada \(n\geq 2\).


Outra fonte de geradores para \(n\)-copulas arquimedianas consiste nas inversas das transformadas de Laplace das funções de distribuição (ver Exemplos 2.11 e 3.9), como mostra o seguinte lema.


Lema 3.5

Uma função \(\psi\) em \([0,\infty)\) é a transformada de Laplace de uma função de distribuição \(\Lambda\) se, e somente se, \(\psi\) for completamente monotônico e \(\psi(0) = 1\).


Demonstração.

Ver Feller (1971).


Os argumentos em (Alsina, Frank, and Schweizer 2006) para a prova do Teorema 3.19 podem ser usados para estender parcialmente o teorema para o caso em que \(\varphi^{(-1)}\) é \(m\)-monotônico em \([0,\infty)\) para algum \(m\geq 2\), ou seja, as derivadas de \(\varphi^{(-1)}\) até e incluindo a \(m\)-ésima são definidas e alternadas em sinal, ou seja, (3.30) vale para \(k = 0,1,2,\cdots,m\), em \((0,\infty)\). Em tais casos, se \(\varphi^{(-1)}\) for \(m\)-monotônico em \([0,\infty)\), então a função \(C^n\) dada por (3.29) é uma \(n\)-copula para \(2\leq n\leq m\).


Exemplo 3.29:

Seja \(\varphi_\theta(t) = t^{-\theta}-1\) para \(\theta\in [–1,0)\), que gera a subfamília não estrita da família Clayton bivariada (3.1.1). Aqui \(\varphi_\theta^{-1}(t) = (1 + t)^{-1/\theta}\), que é prontamente mostrado ser \(m\)-monotônica em \([0,\infty)\) quando \(\theta > -1/(m-1)\).

Assim, podemos generalizar a família Clayton de 2-copulas com um dado \(\theta\in [–1,0)\), para uma família de \(n\)-copulas para \(n < 1 – (1/\theta)\).


Embora seja bastante simples gerar \(n\)-copulas arquimedianas, elas têm suas limitações. Primeiro, em geral, todas as \(k\)-marginais de uma \(n\)-cOpula arquimediana são idênticas. Segundo, o fato de que geralmente há apenas um ou dois parâmetros limita a natureza da estrutura de dependência nessas famílias.


3.7. Exercícios



3.1- Prove o Teorema 3.2.


3.2- A seção diagonal de uma copula arquimediana \(C\) com gerador \(\varphi\in\Omega\) é dada por \[ \delta_C(u) = \varphi^{(-1)}\big(2\varphi(u)\big)\cdot \] Prove que se \(C\) é arquimediana, então para \(u\in (0,1)\), \(\delta_C(u) < u\). Conclua que \(M\) não é uma copula arquimediana.


3.3- Mostre que \(\varphi \, : \, {\bf I}\to [0,\infty]\) está em \(\Omega\) se, e somente se, \(1-\varphi^{(-1)}(t)\) for uma função de distribuição unimodal em \([0,\infty]\) com moda em zero.


3.4- O inverso do Teorema 3.5 é falso. Usando as copulas no Exemplo 2.3 e Exercício 45, mostre que copulas não arquimedianas podem ter (a) curvas de nível não convexas e (b) curvas de nível convexas.


3.5- Seja \(C\) uma copula arquimediana. Prove que \(C\) é estrita se, e somente se, \(C(u,\nu) > 0\) para \((u,\nu)\in (0,1]^2\).


3.6- Este exercício mostra que diferentes copulas arquimedianas podem ter o mesmo conjunto zero. Seja \[ \varphi_1(t)=\arctan\left(\dfrac{1-t}{1+t}\right) \qquad \mbox{e} \qquad \varphi_2(t)=\ln\left( \dfrac{\sqrt{2}+1-t}{\sqrt{2}-1+t}\right)\cdot \]

  1. Mostre que \(\varphi_1\) e \(\varphi_2\) estão em \(\Omega\) e, portanto, geram copulas arquimedianas \(C_1\) e \(C_2\), respectivamente.

  2. Mostre que \[ C_1(u,\nu)=\max\left\{\dfrac{u\, \nu+u+\nu-1}{1+u+\nu-u\, \nu} , 0\right\} \] e \[ C_2(u,\nu)=\max\left\{ \dfrac{u\, \nu+u+\nu-1}{3-u-\nu+u\, \nu}, 0\right\} \]

  3. Mostre que \(C_1\) e \(C_2\) têm a mesma curva zero \(\nu = (1-u)/(1+\nu)\), da qual se segue que \(\mathbb{Z}(C_1) = \mathbb{Z}(C_2)\).


3.7- Sejam \(C_1\) e \(C_2\) copulas arquimedianas não estritas com geradores \(\varphi_1\) e \(\varphi_2\), respectivamente, normalizados (via Teorema 3.2, parte 3) de modo que \(\varphi_1(0) = 1 = \varphi_2(0)\). Seja \(\psi(t) = \varphi_1\circ \varphi_2^{-1}(t)\) para \(t\in{\bf I}\). Prove que \(\mathbb{Z}(C_1) = \mathbb{Z}(C_2)\) se, e somente se, \(\psi(t) + \psi (1-t) = 1\) para todo \(t\in{\bf I}\), ou seja, se, e somente se, o gráfico de \(\psi\) for simétrico em relação ao ponto (1/2,1/2). (Alsina, Frank, and Schweizer 2006).


3.8- Seja \(C_\theta\) um membro da família de Frank (3.1.5) de copulas para \(\theta\in{\bf R}\).

  1. Mostre que \(C_{-\theta}(u,\nu) = u - C_\theta(u,1-\nu) = \nu - C_\theta(1-u,\nu)\), veja o Exercício 6 e o Teorema 1.9.

  2. Conclua que \(C_\theta\) satisfaz a equação funcional \(C = \widehat{C}\) para simetria radial, veja o Teorema 1.13.


3.9-

  1. Mostre que a família Farlie-Gumbel-Morgenstern (2.15) é uma aproximação de primeira ordem para a família de Frank, ou seja, se \(C_\theta\) em (3.1.5), com \(\theta\in [–2,2]\) é expandido em uma série de Taylor em potências de \(\theta\), então os dois primeiros termos são \[ u\, \nu+\dfrac{\theta}{2}u\, \nu(1-u)(1-\nu)\cdot \]

  2. Similarmente, mostre que uma aproximação de segunda ordem para a família Frank consiste em copulas com seções cúbicas dadas por (2.23) com \(a = \theta/2\) e \(b = \theta^2/12\) para \(\theta\in [–2,2]\).


3.10-

  1. Mostre que a média geométrica de duas copulas de Gumbel-Barnett é novamente uma copula de Gumbel-Barnett, ou seja, se \(C_\alpha\) e \(C_\beta\) são dados por (3.1.9), então a média geométrica de \(C_\alpha\) e \(C_\beta\) é \(C_{(\alpha+\beta)/2}\).

  2. Mostre que cada copula de Gumbel-Barnett é uma média geométrica ponderada dos dois membros extremos da família, ou seja, para todo \(\theta\in [0,1]\), \[ C_\theta(u,\nu)=\big(C_0(u\,\nu)\big)^{1-\theta}\times \big(C_1(u\,\nu)\big)^{\theta}\cdot \]


3.11- Prove que, como no Exemplo 3.6(a), \(\varphi'_\theta(0^+) = -\infty\) e \(\varphi''_\theta(t) > 0\) vale para copulas nas famílias (3.1.11), (3.1.15), (3.1.21) e (3.1.22) na Tabela 3.1 e, portanto, que os membros dessas famílias são absolutamente contínuos.


3.12- Prove que, como no Exemplo 3.6(b), a \(C_\theta\)-medida da curva zero é \(1/\theta\) para os membros das famílias (3.1.8) e (3.1.18) na Tabela 3.1 e é \(-\theta\ln\big(\theta/(1-\theta)\big)\) para a família (3.1.7).


3.13- Prove que toda copula arquimediana é Schur-côncava (Durante and Sempi 2003). Dica: use os Teoremas 2.15 e 3.5, e observe que toda copula arquimediana é simétrica.


3.14- Seja \(C\) uma copula e defina \(C_\gamma(u,\nu) = \gamma^{-1}\big(C(\gamma(u),\gamma(\nu))\big)\), onde \(\gamma\) e \(\gamma^{-1}\) satisfazem as propriedades do Teorema 2.12.

  1. Mostre que \(\Pi_\gamma\) é uma copula arquimediana estrita. Dica: \(-\ln\big(\gamma(t)\big)\) é um gerador?

  2. Mostre que \(W_\gamma\) é uma copula arquimediana não estrita. Dica: \(1-\gamma(t)\) é um gerador?

  3. Mais geralmente, mostre que se \(C\) é arquimediano, então \(C_\gamma\) também é arquimediano.


3.15- Use o Teorema 3.8 para mostrar que o seguinte algoritmo gera variáveis aleatórias \((U,V)\), valores observados \((u,\nu)\), cuja função de distribuição conjunta é uma copula arquimediana \(C\) com gerador \(\varphi\in\Omega\):

  1. Gere duas variáveis uniformes (0,1) independentes de observações \(s\) e \(t\);
  2. Defina \(\omega = K_C^{(-1)}(t)\), onde \(K_C\) é dado por (3.9);
  3. Defina \(u = \varphi^{(-1)}\big(s\varphi(\omega)\big)\) e \(\nu =\varphi^{(-1)}\big((1-s)\varphi(\omega)\big)\);
  4. O par desejado é \((u,v)\).


3.16- Mostre que o seguinte algoritmo (Genest and MacKay 1986a) gera variáveis aleatórias \((U,V)\), de observações \((u,\nu)\), cuja função de distribuição conjunta é uma copula arquimediana \(C\) com gerador \(\varphi\in\Omega\):

  1. Gere duas variáveis uniformes (0,1) independentes de observações \(u\) e \(t\);
  2. Defina \(\omega = \varphi'^{(-1)}\big(\varphi'(u)/t\big)\);
  3. Defina \(\nu = \varphi^{(-1)}\big((\varphi(\omega)-\varphi(u)\big)\);
  4. O par desejado é \((u,\nu)\).


3.17- Mostre que o seguinte algoritmo (Devroye 1986) gera variáveis aleatórias \((U,V)\) de observações \((u,\nu)\) cuja função de distribuição conjunta é a copula de Clayton (3.1.1) com parâmetro \(\theta > 0\):

  1. Gere duas variáveis exponenciais independentes (média \(\mu = 1\)) \(x\) e \(y\); e uma variável gama (\(\alpha = \theta\), \(\beta = 1\)) \(z\), independente de \(x\) e \(y\);
  2. Defina \(u = \big( 1+(x/z)\big)^{-1\theta}\) e \(\nu = \big(1+ (y/z)\big)^{-\theta}\);
  3. O par desejado é \((u,\nu)\).


3.18-

  1. Mostre que as seguintes famílias de copulas arquimedianas na Tabela 3.1 são positivamente ordenadas: (3.1.3), (3.1.5)-(3.1.8), (3.1.12)-(3.1.18), (3.1.20) e (3.1.21).

  2. Mostre que as famílias (3.1.11) e (3.1.22) da Tabela 3.1 são negativamente ordenadas.


3.19- Seja \(C\) uma copula arquimediana estrita gerada por \(\varphi\in\Omega\). Prove que se \(-\ln\big(\varphi^{-1}\big)\) é côncava em \((0,\infty)\), então \(C\succ \Pi\).


3.20- Prove que as únicas copulas arquimedianas racionais absolutamente contínuas são os membros da família Ali-Mikhail-Haq (3.1.3).


3.21- Seja \(C_{\alpha,\beta}\) uma copula arquimediana racional, conforme dada por (3.28), com \(\beta > 0\). Mostre que a massa de probabilidade na curva zero é dada por \[ \left\{ \begin{array}{ccl} \sqrt{\beta}, & \mbox{se} & \sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}=1,\\[0.8em] \dfrac{\beta}{\sqrt{\Delta}}\ln\left(\dfrac{1-\alpha+\beta+\sqrt{\Delta}}{1-\alpha+\beta-\sqrt{\Delta}}\right), & \mbox{se} & \sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}<1\\[0.8em] \dfrac{2\beta}{\sqrt{-\Delta}}\arctan\left(\dfrac{\sqrt{-\Delta}}{1-\alpha+\beta}\right), & \mbox{se} & \sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}>1, \end{array}\right. \] onde \(\Delta=(1-\alpha-\beta)^2-4\alpha\beta\).


3.22- Seja \(C_{\alpha,\beta}\) uma copula arquimediana racional, como dado por (3.28). Mostre que se \(\beta\in [0,1)\), então a curva de nível \(C_{\alpha,\beta}(u,\nu) = t\) para \(t\in{\bf I}\) é uma porção de um ramo da hipérbole retangular cujas assíntotas são \[ u = \dfrac{\alpha t-\beta}{1+\alpha t-\beta} \qquad \mbox{e} \qquad \nu = \dfrac{\alpha t-\beta}{1+\alpha t-\beta}\cdot \]


3.23- Considere a família \(\{C_{\alpha,\beta}\}\) de copulas arquimedianas racionais, onde \(C_{\alpha,\beta}\) é dado por (3.28) com \(0\leq \beta\leq 1-|\alpha|\). Mostre que esta família é positivamente ordenada por \(\alpha\) e negativamente ordenada por \(\beta\), isto é, se \(\alpha_1\leq \alpha_2\) e \(\beta_1\geq \beta_2\), então \(C_{\alpha_1,\beta_1}\prec C_{\alpha_2,\beta_2}\).


3.24- Mostre que a inversa do gerador de cada uma das seguintes famílias na Tabela 3.1 é completamente monótono para os valores do parâmetro \(\theta\) para o qual \(C_\theta\succ \Pi\): (3.1.3), (3.1.6), (3.1.12), (3.1.13), (3.1.14) e (3.1.19). Eestes são adicionais às famílias (3.1.1), (3.1.4) e (3.1.5), que foram examinadas nos Exemplos 3.25, 3.26 e 3.27.


3.25- Seja \(\varphi(t) = 1/t - t\), este é o membro \(\theta = 1\) da família (3.1.16) e seja \(C\) a copula arquimediana (estrita) gerada por \(\varphi\).

  1. Mostre que \(C\succ \Pi\). Dica: Corolário 3.5.

  2. Mostre que \(\varphi^{-1}\) é 3-monotônica, mas não 4-monotônica.

Conclua que o inverso do Corolário 3.8 não é válido.


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