Anteriormente, argumentamos por uma aproximação à log-verossimilhança com base na distribuição conjunta dos DFTs, onde usamos a aproximação como um auxílio na estimação de parâmetros para determinados espectros parametrizados. Aqui, usamos intensamente o fato de que o seno e o cosseno se transformam no processo do vetor \(p\times 1\), \(X_t=(X_{t,1},X_{t,2},\cdots,X_{t,p})^\top\) com vetor de média \(\mbox{E}(X_t)=\mu_t\), digamos, com DFT de um processo \(X_t\) indicado por \(d_X(\omega_k)\). Aqui consideraremos as transformadas de Fourier de muitos processos diferentes e, para evitar o uso excessivo de subscritos e facilitar a notação, usamos uma letra maiúscula, por exemplo, \(X(\omega_k)\), para denotar o DFT de \(X_t\). Essa notação é padrão na literatura de processamento de sinais digital (DSP). O DST nesta situação é \begin{equation} X(\omega_k) \, = \, \dfrac{1}{\sqrt{n}}\sum_{t=1}^n X_t e^{-2\pi \, i \, \omega_k \, t} \, = \, X_c(\omega_k)-i X_s(\omega_k) \end{equation} e média \begin{equation} M(\omega_k) \, = \, \dfrac{1}{\sqrt{n}}\sum_{t=1}^n \mu_t e^{-2\pi \, i \, \omega_k \, t} \, = \, M_c(\omega_k)-i M_s(\omega_k), \end{equation} serão aproximadamente não correlacionados, onde avaliamos nas frequências habituais de Fourier \begin{equation} \{\omega_k \, = \, k/n, \, 0< |\omega_k|< 1/2\}\cdot \end{equation} Pelo Teorema C.6, a matriz \(2p\times 2p\) aproximada das covariâncias das transformações seno e cosseno, digamos \(X(\omega_k)=\big(X_c(\omega_k)^\top,X_s(\omega_k)^\top\big)^\top\), é \begin{equation} \Sigma(\omega_k) \, = \, \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} C(\omega_k) & -Q(\omega_k) \\ Q(\omega_k) & C(\omega_k) \end{pmatrix}, \end{equation} e as partes reais e imaginárias são conjuntamente normais.
Este resultado implica, pelos resultados indicados no Apêndice C, que a função de densidade do vetor DFT, por exemplo, \(X(\omega_k)\), pode ser aproximado como \begin{equation} p(\omega_k) \, \approx \, \dfrac{1}{|f(\omega_k)|}\exp\left( -\big( X(\omega_k)-M(\omega_k)\big)^*\dfrac{1}{f(\omega_k)} \big( X(\omega_k)-M(\omega_k)\big)\right), \end{equation} onde a matriz espectral é a habitual \begin{equation} f(\omega_k) \, = \, C(\omega_k)-i Q(\omega_k)\cdot \end{equation} Certos cálculos que fazemos aqui sobre análise discriminante envolverão a aproximação da verossimilhança conjunta pelo produto de densidades como a mencionada acima sobre subconjuntos da faixa de frequência \(\{0< \omega_k < 1/2\}\).
Para usar a função de verossimilhança para estimar a matriz espectral, por exemplo, recorremos ao resultado limitador implícito no Teorema C.7 e novamente escolhemos \(L\) frequências na vizinhança de alguma frequência alvo \(\omega\), digamos, \(X(\omega_k\pm k/n)\), para \(k=1,\cdots,m\) e \(L=2m+1\). Então, se \(X_\ell\) denotar os valores indexados e observando que as DFTs do processo vetorial ajustado pela média são aproximadamente conjuntamente normal com média zero e matriz de covariâncias complexa \(f = f(\omega)\). Em seguida, escrevemos a log verossimilhança nas \(L\) sub-frequências como \begin{equation} \ln\big(L_X(f(\omega_k)) \big) \, \approx \, -L \ln\big( |f(\omega_k)|\big)-\sum_{\ell=-m}^m \big( X_\ell-M_\ell\big)^* \dfrac{1}{f(\omega_k)} \big( X_\ell-M_\ell\big)\cdot \end{equation}
O uso de aproximações espectrais para a verossimilhança tem sido bastante padrão, começ;ando com o trabalho de Whittle (1961) e continuando em Brillinger (1981) e Hannan (1970). Supondo que as séries médias ajustadas estejam disponíveis, ou seja, \(M_\ell\) sejam conhecidas, obtemos o estimador de máxima verossimilhança para \(f\), como \begin{equation} \widehat{f}(\omega_k) \, = \, \dfrac{1}{L} \sum_{\ell=-m}^m \big( X_\ell-M_\ell\big)\big( X_\ell-M_\ell\big)^*\cdot \end{equation}