Figura VII.3: Valores mensais do clima e do influxo no Lago Shasta (climhyd).
Na Seção IV.7, consideramos um modelo da forma \begin{equation} Y_t \, = \, \sum_{r=-\infty}^\infty \beta_{1,r} X_{t-r,1} + \nu_t, \end{equation} onde \(X_{t,1}\) é uma única série de entrada observada e \(Y_t\) é a série de saída observada e estamos interessados em estimar os coeficientes de filtro \(\beta_{1,r}\) relacionando os valores atrasados adjacentes de \(X_{t,1}\) à série de saída \(Y_t\). No caso das séries SOI e Recrutamento, identificamos a série de condução El Niño como \(X_{t,1}\), a entrada e \(Y_t\), a série Recrutamento, como saída. Em geral, pode existir mais de uma única série de entrada plausível. Por exemplo, os dados hidrológicos de influxo do Lago Shasta climhyd, mostrados na Figura VII.3, sugerem que pode haver pelo menos cinco séries possíveis impulsionando o influxo; veja o Exemplo VII.1 para mais detalhes. Portanto, podemos imaginar um vetor de entrada \(q\times 1\) de séries de condução, \(X_t=(X_{t,1},X_{t,2},\cdots,X_{t,q})^\top \) e um conjunto de vetores \(q\times 1\) de funções de regressão \(\beta_r = (\beta_{1,r},\beta_{2,r},\cdots,\beta_{q,r})^\top\), que estão relacionados como \begin{equation} Y_t \, = \, \sum_{r=-\infty}^\infty \beta_r^\top X_{t-r}+\nu_t \, = \, \sum_{j=1}^q \sum_{r=-\infty}^\infty \beta_{j,r}X_{t-r,j}+\nu_t \end{equation} que mostra que a saída é uma soma das versões filtradas linearmente dos processos de entrada e um processo de ruído estacionário \(\nu_t\), assumido como não correlacionados com \(X_t\). Cada componente filtrado na soma sobre \(j\) fornece a contribuição de valores defasados da \(j\)-ésima série de entrada para a série de saída. Assumimos que as funções de regressão \(\beta_{j,r}\) são fixas e desconhecidas.
O modelo dado acima é útil em vários cenários diferentes, correspondendo a uma série de diferentes suposições que podem ser feitas sobre os componentes. Assumindo que os processos de entrada e saída são conjuntamente estacionários com média zero significa nos leva à análise de regressão convencional fornecida nesta seção.
A análise depende da teoria que assume que observamos o processo de saída \(Y_t\) condicionado a valores fixos do vetor de entrada \(X_t\); este é o mesmo que as suposições feitas na análise de regressão convencional. As premissas consideradas posteriormente envolvem assumir o vetor de coeficientes \(\beta_t\) ser um vetor aleatório desconhecido que pode ser estimado por argumentos Bayesianos, usando a esperança condicional dada os dados. As respostas a esta abordagem, dadas na Seção VII.5, permite que diversos problemas sejam tratados. Assumir que as entradas são fixas permite que desenhos de experimentos e análises de variância sejam feitos para modelos de efeitos fixos e aleatórios, considerados na Seção VII.5.
Figura VII.3: Valores mensais do clima e do influxo no Lago Shasta (climhyd).
O modelo apresentado acima é útil em vários cenários diferentes, correspondendo a a uma série de diferentes suposições que podem ser feitas sobre os componentes. Assumindo que os processos de entrada e saída são estacionários em conjunto com ligações de meios nulos à análise de regressão convencional dada nesta seção. A análise depende na teoria que assume que observamos o processo de output yt condicional a valores fixos do vector de entrada xt ; é o mesmo que as hipóteses feitas na regressão convencional análise. As hipóteses consideradas mais tarde envolvem deixar o vetor de coeficiente t ser um vetor de sinal desconhecido aleatório que pode ser estimado por argumentos Bayesianos, usando a expectativa condicional dados os dados. As respostas a esta abordagem, dadas na Secção 7.5, permite que a extracção de sinal e problemas de desconvolução sejam tratados. Assumindo que as entradas são fixas permite vários desenhos experimentais e análises de variância a ser feita para modelos de efeitos fixos e aleatórios. Estimação da variância componentes de variância de efeitos aleatórios dependentes de freqüência na análise de variância é também considerado na Secção 7.5.