intervalos de confiança mais exatos

Para amostras pequenas, onde $s$ é uma estimativa menos confiável de $\sigma$, devemos construir nosso intervalo de confiança de uma forma ligeiramente diferente.

Ao invés de usar o valor 1.96, usamos um valor ligeiramente maior para refletir nossa redução na confiança. Obtemos o valor requerido da tabela de distribuição $t$. Tomamos o valor correspondente à linha $r=n-1$ graus de liberdade. Note que quanto menor $n$, maiores os valores de $t$. Então um intervalo de confiança exato é

$$(\bar{x}- t_{(n-1,0.05)} \times \frac{s}{\sqrt{n}}   ,   \bar{x}+t_{(n-1,0.05)} \times \frac{s}{\sqrt{n}}).$$

Note ainda que à medida que $n$ cresce, o valor de $t$ torna-se próximo a 1.96.

Repare que se a distribuição da variável original é muito distante de ser normalmente distribuída, e o tamanho amostral é muito pequeno, então as médias amostrais não terão uma distribuição aproximadamente normal e portanto este tipo de intervalo de confiança não será muito preciso e não deveria ser utilizado.

A distribuição $t$

Valores de $t$ para que $P(\mid T \mid > t)=p$, onde $T$ tem um distribuição $T$ de Student com $r$ graus de liberdade.

		$p$
		0.20	0.10	0.05	0.01	0.001
	1	3.078	6.314	12.706	63.657	636.619
	2	1.886	2.920	4.303	9.925	31.599
	3	1.638	2.353	3.182	5.841	12.924
	4	1.533	2.132	2.776	4.604	8.610
	5	1.476	2.015	2.571	4.032	6.869
	6	1.440	1.943	2.447	3.707	5.959
	7	1.415	1.895	2.365	3.499	5.408
	8	1.397	1.860	2.306	3.355	5.041
	9	1.383	1.833	2.262	3.250	4.781
	10	1.372	1.812	2.228	3.169	4.587
	11	1.363	1.796	2.201	3.106	4.437
	12	1.356	1.782	2.179	3.055	4.318
	13	1.350	1.771	2.160	3.012	4.221
	14	1.345	1.761	2.145	2.977	4.140
	15	1.341	1.753	2.131	2.947	4.073
	16	1.337	1.746	2.120	2.921	4.015
$r$	17	1.333	1.740	2.110	2.898	3.965
	18	1.330	1.734	2.101	2.878	3.922
	19	1.328	1.729	2.093	2.861	3.883
	20	1.325	1.725	2.086	2.845	3.850
	21	1.323	1.721	2.080	2.831	3.819
	22	1.321	1.717	2.074	2.819	3.792
	23	1.319	1.714	2.069	2.807	3.768
	24	1.318	1.711	2.064	2.797	3.745
	25	1.316	1.708	2.060	2.787	3.725
	26	1.315	1.706	2.056	2.779	3.707
	27	1.314	1.703	2.052	2.771	3.690
	28	1.313	1.701	2.048	2.763	3.674
	29	1.311	1.699	2.045	2.756	3.659
	30	1.310	1.697	2.042	2.750	3.646
	40	1.303	1.684	2.021	2.704	3.551
	50	1.299	1.676	2.009	2.678	3.496
	60	1.296	1.671	2.000	2.660	3.460
	70	1.294	1.667	1.994	2.648	3.435
	80	1.292	1.664	1.990	2.639	3.416
	90	1.291	1.662	1.987	2.632	3.402
	100	1.290	1.660	1.984	2.626	3.390
	$\infty$	1.282	1.645	1.960	2.576	3.291