Intervalos de confiança de 95% para uma média

Na seção anterior vimos que para uma amostra suficientemente grande a distribuição das médias amostrais em torno da média populacional é Normal com desvio padrão $\sigma/\sqrt{n}$. Chamamos de $\sigma/\sqrt{n}$ o erro padrão (SE) da média, uma vez que quanto menor seu valor tanto mais próximas estarão as médias amostrais da média populacional $\mu$ (i.e. tanto menor será o erro).

\begin{eqnarray*}
\mbox{ média populacional}  &=&  \mu \\
\mbox{ desvio padrã...
... &=&  \sigma \\
\mbox{ SE da média}  &=&  \sigma / \sqrt{n}
\end{eqnarray*}


Isto significa que 68.3% de todas as médias amostrais cairão dentro de $\pm 1$ SE da média populacional $\mu$. Similarmente 95% de todas as médias amostrais cairão dentro de $\pm 1.96
\times {\rm SE}$ de $\mu$.

Então intervalos da forma

\begin{displaymath}(\bar{x}- 1.96 \times
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}   ,   \bar{x}+1.96 \times
\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\end{displaymath}

conterão a verdadeira média populacional $\mu$ 95% das vezes.



Um problema com a construção de tais intervalos é que não sabemos o verdadeiro desvio padrão populacional $\sigma$. Para grandes tamanhos amostrais, contudo, o desvio padrão amostral $s$ será uma boa estimativa de $\sigma$. Portanto, podemos substituir $\sigma$ por $s$ de modo que podemos calcular o erro padrão como

\begin{displaymath}{\rm SE}  =  s / \sqrt{n},\end{displaymath}

e um intervalo de confiança de aproximadamente 95% para $\mu$ é:

\begin{displaymath}(\bar{x}- 1.96 \times \frac{s}{\sqrt{n}}   ,   \bar{x}+1.96 \times
\frac{s}{\sqrt{n}}).\end{displaymath}

Este tipo de intervalo de confiança para a média pode ser usado para grandes amostras, independentemente da distribuição da variável original.

shimakur 2016-02-29