Intervalos de confiança para uma proporção

Da mesma forma que um conjunto de médias amostrais são distribuídas nas proximidades da média populacional, as proporções amostrais $\hat{p}$ são distribuídas ao redor da verdadeira proporção populacional $p$.

Devido ao Teorema Central do Limite, para $n$ grande e $p$ não muito próximo de 0 ou 1, a distribuição de $\hat{p}$ será aproximadamente normalmente distribuída com média $p$ e um desvio padrão dado por

$$\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$$

Chamamos SE $=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ de erro padrão da proporção amostral. Podemos usar isto na construção de um intervalo de confiança para a verdadeira proporção $p$.

Um intervalo de confiança de aproximadamente 95% para $p$ é portanto

$$(\hat{p} - 1.96 \times \mbox{SE}   ,   \hat{p} + 1.96 \times \mbox{SE})$$

em que

$${\rm SE} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.$$

Note que não sabemos o verdadeiro valor de $p$, e portanto usamos $\hat{p}$ na fórmula acima para estimar SE.

Uma regra geral é que este intervalo de confiança é válido quando quando temos ambos $n \hat{p}$ e $n (1-\hat{p})$ maiores do que digamos 10.

Exemplo:
Um ensaio clínico foi realizado para determinar a preferência entre dois analgésicos, A e B, contra dor de cabeça. Cem pacientes que sofrem de dor de cabeça crônica receberam em dois tempos diferentes o analgésico A e o analgésico B.

A ordem na qual os pacientes receberam os analgésicos foi determinada ao acaso. Os pacientes desconheciam esta ordem.

Ao final do estudo foi perguntado a cada paciente qual analgésico lhe proporcionou maior alívio: o primeiro ou o segundo. Dos 100 pacientes, 45 preferiram A e 55 preferiram B.

Baseado nestas informações podemos dizer que há prefência por algum dos analgésicos?

Dizemos que não há preferência por um dos analgésicos quando a proporção dos que preferem A ($p_A$), é igual a proporção dos que preferem B ($p_B$). Como temos dois resultados possíveis, $p_A$ e $p_B$ são iguais quando $p_A=p_B=0,5$.

Um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira proporção de pacientes que preferem o analgésico A é:

$$\left(0,45 \pm 1,96 \sqrt{\frac{0,45\times0,55}{100}}\right)=(0,35;0,55)$$

Então com 95% de confiança, a verdadeira proporção de pacientes que preferem o analgésico A está entre 0,35 e 0,55. Observe que este intervalo contem o valor 0,5 então concluímos que não existem evidências amostrais de preferência por um dos analgésicos.