Universidade Federal do Paraná
Curso de Estatística
CE 089 - Estatística Computacional II
Prof. Dr. Walmes Marques Zeviani
Trabalho 3 - Níveis de cobertura
Acadêmico: Machado de Assis, GRR: XXXXXXXX.
Descrição do trabalho
Os objetivos do trabalho são:
- Comparar o nível de cobertura dos intervalos de confiança de
deviance com os intervalos de Wald na parametrização original.
- Comparar o nível de cobertura dos intervalos de Wald na
parametrização original e numa parametrização alternativa.
A tarefa contém as seguites etapas:
- Definir a função \(F(x)\), \(f(x)\) e \(F^{-1}(u)\) de tal forma que se
possa gerar números aleatórios e avaliar a densidade em pontos
dentro do espaço paramétrico para uma amostra realizada.
- Definir a função de log-verossimilhança \(\ell(\theta)\) e a função
deviançe \(D(\theta)\) em termos de um parâmetro. Os demais
parâmetros serão considerados como fixos para que o estudo seja
unidimensional.
- Gerar uma amostra aleatória e estimar por máxima verossimilhança os
parâmetro alvo.
- Obter o intervalo de confiança com nível nominal \(1-\alpha\) para o
parâmetro alvo baseado na deviance a na sua aproximação quadrática
(Wald). Usar métodos numéricos, como por exemplo o hessiano
numérico retornado pela
optim()
na estimativa de máxima
log-verossimilhança.
- Conduzir um estudo de simulação para verificar a taxa de cobertura
dos intervalos de Wald para cada parametrização da função densidade.
Lista de distribuição de probabilidades:
-
\[
\begin{aligned}
F(x) \,&= 1/(1+\exp\{-\theta_{2}(x-\theta_{1})\}), \quad x\in
\mathbb{R}, \theta_{1}>0, \theta_{2}>0, \newline
F^{-1}(u) \,&= -\frac{\log(1/u-1)}{\theta_2}+\theta_1.
\end{aligned}
\]
-
\[
\begin{aligned}
F(x) \,&= \exp\{-\exp\{\theta_{1}-\theta_2 x\}\}, \quad x \in \mathbb{R},
\theta_{1} \in \mathbb{R}, \theta_{2} >0, \newline
F^{-1}(u) \,&= -\frac{\log(-\log(u))-\theta_1}{\theta_2}.
\end{aligned}
\]
-
\[
\begin{aligned}
F(x) \,&= 1-\exp\{-x^2/(2\theta_{1}^2)\}, \quad x> 0, \theta_{1} > 0, \newline
F^{-1}(u) \,&= \theta_1\sqrt{-2\log(u-1)}.
\end{aligned}
\]
-
\[
\begin{aligned}
F(x) \,&= 1-\left(\frac{\theta_{1}}{x}\right)^{\theta_{2}}, \quad x>
\theta_{1}, \theta_{1} > 0, \theta_{2} > 1, \newline
F^{-1}(u) \,&= \frac{\theta_1}{(1-u)^{1/\theta_2}}.
\end{aligned}
\]
-
\[
\begin{aligned}
F(x) \,&= \left(1+\left(\frac{x}{\theta_{1}}\right)^{-\theta_{2}}\right)^{-\theta_3},
\quad x> 0, \theta_{1}> 0, \theta_{2}> 0, \theta_{3}> 0, \newline
F^{-1}(u) \,&= \theta_1\left(u^{-1/\theta_3}-1\right)^{-1/\theta_2}.
\end{aligned}
\]
-
\[
\begin{aligned}
F(x) \,&= 1-\exp\{-\theta_{1}\exp\{\theta_{2} x\}\},
\quad x> 0, \theta_{1} >0, \theta_{2}> 0, \newline
F^{-1}(u) \,&= \frac{1}{\theta_1} \log\left(-\frac{\log(1-u)}{\theta_2}\right).
\end{aligned}
\]
-
\[
\begin{aligned}
F(x) \,&= \frac{1}{1+(x/\theta_{1})^{-\theta_{2}}},
\quad x> 0, \theta_{1} >0, \theta_{2}> 0, \newline
F^{-1}(u) \,&= \theta_1\left(\frac{1}{u}-1\right)^{-1/\theta_2}
\end{aligned}
\]
Sorteio das distribuições aos acadêmicos
A designação das funções densidades foi feita em sala de aula de acordo
com o lugar em que cada um estava sentado.
Upload dos arquivos
Um zip contendo os arquivos de extensão *.html
e *.Rmd
, o diretório
com as figuras (por default /figure
) e o diretório de cache (por
default /cache
) deve ser hospedado em algum site de hospedagem de
arquivos. O link para download deve ser informado na página da
disciplina no campo de discussões. Sugere-se usar o
datafilehost.com para o qual tem-se
instruções disponíveis na
wiki leg/datafilehost.
Importante: O nome do arquivo zip deve ser o GRR do aluno. Por
exemplo 20129999.zip
. O nome para o arquivo *.Rmd
deve ser
ce089-2014-01-trab03.Rmd
. O aluno deve identificar-se pelo GRR ao
fornecer o link para download do zip dentro do campo discussões na
página wiki leg da disciplina.
Prazo para envio
Foi planejado desenvolver todo o trabalho em sala de aula mas se for
possível concluir em aula, o aluno deve concluí-lo. O prazo limite para
envio dos arquivos é 03/10/2014 até às 23h59. Não serão considerados
envios fora do prazo nem encaminhados por email.