O objetivo desta sessão é mostrar o uso de funções do R em problemas de probabilidade. Exercícios que podem (e devem!) ser resolvidos analiticamente são usados para ilustrar o uso do programa e alguns de seus recursos para análises numéricas.
Os problemas nesta sessão foram retirados do livro:
Bussab, W.O. & Morettin, P.A. Estatística Básica. 4a edição. Atual Editora. 1987.
Note que há uma edição mais nova: (5a edição, 2003 - Ed. Saraiva)
EXEMPLO 1 (adaptado de Bussab & Morettin, página 132, exercício 1)
Dada a função
Para ser f.d.p. a função não deve ter valores negativos e deve integrar 1 em seu domínio. Vamos começar definindo esta função como uma função no R para qual daremos o nome de f1. A seguir fazemos o gráfico da função. Como a função tem valores positivos para x no intervalo de zero a infinito temos, na prática, para fazer o gráfico, que definir um limite em x até onde vai o gráfico da função. Vamos achar este limite tentando vários valores, conforme mostram os comandos abaixo. O gráfico escolhido e mostrado na Figura 16 foi o produzido pelo comando plot(f1,0,5).
Para verificar que a a integral da função é igual a 1 podemos usar a função integrate() que efetua integração numérica. A função recebe como argumentos o objeto com a função a ser integrada e os limites de integração. Neste exemplo o objeto é f1 definido acima e o domínio da função é [0,∞]. A saída da função mostra o valor da integral (1) e o erro máximo da aproximação numérica.
Para fazer cálculos pedidos nos itens (b) e (c) lembramos que a probabilidade é dada pela área sob a curva da função no intervalo pedido. Desta forma as soluções seriam dadas pelas expressões
E para obter as probabilidades pedidas usamos integrate().
EXEMPLO 2 (Bussab & Morettin, página 139, exercício 10)
A demanda diária de arroz em um supermercado, em centenas de quilos, é uma v.a. X com f.d.p.
Novamente começamos definindo um objeto do R que contém a função dada em 3.
Neste caso definimos um vetor do mesmo tamanho do argumento x para armazenar os valores de f(x) e a seguir preenchemos os valores deste vetor para cada faixa de valor de x.
A seguir verificamos que a integral da função é 1 e fazemos o seu gráfico mostrado na Figura 18.
Agora vamos responder às questões levantadas. Na questão (a) pede-se a probabilidade de que sejam vendidos mais que 150 kg (1,5 centenas de quilos), portanto a probabilidade P[X > 1, 5]. A probabilidade corresponde à área sob a função no intervalo pedido ou seja P[X > 1, 5] = ∫ 1,5∞f(x)dx e esta integral pode ser resolvida numericamente com o comando:
A venda esperada em trinta dias é 30 vezes o valor esperado de venda em um dia. Para calcular a esperança E[X] = ∫ xf(x)dx definimos uma nova função e resolvemos a integral. A função integrate retorna uma lista onde um dos elementos ($value) é o valor da integral.
Na questão (c) estamos em busca do quantil 95% da distribuição de probabilidades, ou seja o valor de x que deixa 95% de massa de probabilidade abaixo dele. Este valor que vamos chamar de k é dado por:
A Figura 19 ilustra as soluções dos itens (a) e (c) e os comandos abaixo foram utilizados para obtenção destes gráficos.
Finalmente lembramos que os exemplos discutidos aqui são simples e não requerem soluções numéricas, devendo ser resolvidos analiticamente. Utilizamos estes exemplos somente para ilustrar a obtenção de soluções numéricas com o uso do R, que na prática deve ser utilizado em problemas mais complexos onde soluções analíticas não são triviais ou mesmo impossíveis.