21 Usando simulação para ilustrar resultados

Podemos utilizar recursos computacionais e em particular simulações para inferir distribuições amostrais de quantidades de interesse. Na teoria de estatística existem vários resultados que podem ser ilustrados via simulação, o que ajuda na compreensão e visualização dos conceitos e resultados. Veremos alguns exemplos a seguir.

Este uso de simulações é apenas um ponto de partida pois estas são especialmente úteis para explorar situações onde resultados teóricos não são conhecidos ou não podem ser obtidos.

21.1 Relações entre a distribuição normal e a $\chi^2$

Resultado 1: Se $Z \sim {\rm N}(0,1)$ então $Z^2 \sim \chi^2_{(1)}$.

Vejamos como ilustrar este resultado. Inicialmente vamos definir o valor da semente de números aleatórios para que os resultados possam ser reproduzidos. Vamos começar gerando uma amostra de 1000 números da distribuição normal padrão. A seguir vamos fazer um histograma dos dados obtidos e sobrepor a curva da distribuição teórica. Fazemos isto com os comando abaixo e o resultado está no gráfico da esquerda da Figura .

> set.seed(23)
> z <- rnorm(1000)
> hist(z, prob=T)
> curve(dnorm(x), -4, 4, add=T)

Note que, para fazer a comparação do histograma e da curva teórica é necessário que o histograma seja de frequências relativas e para isto usamos o argumento prob = T.

Agora vamos estudar o comportamento da variável ao quadrado. O gráfico da direita da Figura  mostra o histograma dos quadrados do valores da amostra e a curva da distribuição de $\chi^2_{(1)}$.

> hist(z^2, prob=T)
> curve(dchisq(x, df=1), 0, 10, add=T)

Figura : Histograma das amostra da e a curva teórica da distribuição normal padrão (esquerda) e histograma dos valores ao quadrado com a curva teórica da distribuição $\chi^2_{(1)}$ (direita).

Nos gráficos anteriores comparamos o histograma da distribuição empírica obtida por simulação com a curva teórica da distribuição. Uma outra forma e mais eficaz forma de comparar distribuições empíricas e teóricas é comparar os quantis das distribuições e para isto utilizamos o qq-plot. O qq-plot é um gráfico dos dados ordenados contra os quantis esperados de uma certa distribuição. Quanto mais próximo os pontos estiverem da bissetriz do primeiro quadrante mais próximos os dados observados estão da distribuição considerada. Portanto para fazer o qqplot seguimos os passos:

1. obter os dados,
2. obter os quantis da distribuição teórica,
3. fazer um gráfico dos dados ordenados contra os quantis da distribuição.

Vamos ilustrar isto nos comandos abaixo. Primeiro vamos considerar como dados os quadrados da amostra da normal obtida acima. Depois obtemos os quantis teóricos da distribução $\chi^2$ usando a função qchisq em um conjunto de probabilidades geradas pela função ppoints. Por fim usamos a função qqplot para obter o gráfico mostrado na Figura . Adicionamos neste gráfico a bissetriz do primeiro quadrante.

> quantis <- qchisq(ppoints(length(z)), df=1)
> qqplot(quantis, z^2)
> abline(0,1)

Note que o comando qchisq(ppoints(length(z)), df=1) acima está concatenando 3 comandos e calcula os quantis da $\chi^2$ a partir de uma sequência de valores de probabilidade gerada por ppoints. O número de elementos desta sequência deve igual ao número de dados e por isto usamos length(z).

Figura : Comparando dados e quantis da $\chi^2$ utilizando o qq-plot

Resultado 2: Se $Z_1, Z_2, \ldots Z_n \sim {\rm N}(0,1)$ então $\sum_1^n Z_i^2 \sim \chi^2_{(n)}$.

Para ilustrar este resultado vamos gerar 10.000 amostras de 3 elementos cada da distribuiçâo normal padrão, elevar os valores ao quadrado e, para cada amostra, somar os quadrados dos três números. Na Figura  mostramos o histograma dos valores obtidos com a curva da distribuição esperada e o qq-plot.

> z <- matrix(rnorm(30000), nc=3)
> sz2 <- apply(z^2, 1, sum)
> hist(sz2, prob=T, main="")
> curve(dchisq(x, df=3), 0, 30, add=T)
> qqplot(qchisq(ppoints(length(sz2)), df=3), sz2)
> abline(0,1)

Figura : Histograma da uma amostra da soma dos quadrados de três valores da normal padrão e a curva teórica da distribuição de $\chi^2_{(3)}$ (esquerda) e o respectivo qq-plot.

21.2 Distribuição amostral da média de amostras da distribuição normal

Resultado 3: Se $Y_1, Y_2, \ldots Y_n \sim {\rm N}(\mu,\sigma^2)$ então $\bar{y} \sim {\rm N}(\mu,\sigma^2/n)$.

Neste exemplo vamos obter 1000 amostras de tamanho 20 de uma distribuição normal de média 100 e variância 30. Vamos organizar as amostras em uma matriz onde cada coluna corresponde a uma amostra. A seguir vamos calcular a média de cada amostra. Pelo Resultado 3 acima esperamos que a média das médias amostrais seja 100 e a variância seja 1.5 (= 30/20), e que a distribuição das médias amostrais seja normal, valores bem próximos dos obtidos acima. Para completar vamos obter o gráfico com o histograma das médias das amostras e a distribuição teórica conforme Figura  e o respectivo qq-plot.

> y <- matrix(rnorm(20000, mean=100, sd=sqrt(30)), nc=1000)
> ybar <- apply(y, 2, mean)
> mean(ybar)
> [1] 99.96043
> var(ybar)
[1] 1.582839
> hist(ybar, prob = T)
> curve(dnorm(x, mean=100, sd=sqrt(30/20)), 95, 105, add=T)
> qqnorm(ybar)
> qqline(ybar)

Note que para obter o qq-plot neste exemplo utilizamos as funções qqnorm qqline já disponíveis no R para fazer qq-plot para distribuição normal.

Figura : Histograma de uma amostra da distribuição amostral da média e a curva teórica da distribuição e o respectivo qq-plot.

21.3 Exercícios

1. Ilustrar usando simulação o resultado que afirma que o estimador $S^2 = \sum \frac{(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$ da variância de uma distribuição normal tem distribuição $\chi^2_{n-1}$.
   DICA: Voce pode começar pensando nos passos necessários para ilustrar este resultado:
   • escolha os parâmetros de uma distribuição normal,
   • escolha o tamanho de amostra $n$ e o número de simulações $N$,
   • gere $N$ amostras de tamanho $n$,
   • para cada amostra calcule $S^2$,
   • faça um histograma com os valores $S^2$ e compare com a curva de uma distrição $\chi^2_{n-1}$.

2. Seja $X_1, \ldots, X_n$ a.a. de uma distribuição ${\rm N}(\mu, \sigma^2)$. Ilustrar o resultado que justifica o teste-$t$ para média de uma amostra,
   
   $$\frac{\bar{x} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$$
   
   
   onde $S$ é o desvio padrão da amostra e $n$ o tamanho da amostra.
   DICA: começe verificando passo a passo, como no exercício anterior, o que é necessário para ilustrar este resultado.
3. Ilustrar o resultado que diz que o quociente de duas variáveis independentes com distribuição $\chi^2$ tem distribuição $F$.