As equações diferenciais estocásticas modelam a evolução estocástica à medida que o tempo passa. Esses modelos têm uma variedade de aplicações em muitas disciplinas e surgem naturalmente no estudo de muitos fenômenos. Exemplos dessas aplicações são física ver, por exemplo, Papanicolaou, G. (1995) para uma revisão; astronomia em Schuecker, P., Böhringer, H., Arzner, K. & Reiprich, T.H. (2001), mecânica em Kushner, H.J. (1967), economia em Bergstrom, A.R. (1990), finanças matemáticas em Hull, J. (2000), geologia em Ditlevsen, P.D., Ditlevsen, S. & Andersen, K.K. (2002), análise genética ver, por exemplo, Holland, C.J. (1976), Karlin, S. & Tavare, S. (1983) e Lange, K. (2002), ecologia em Holmes, E.E. (2004), psicologia cognitiva ver, por exemplo, Hanes, D.P. & Schall, J.D. (1988) e Tuerlink, F., Maris, E., Ratcliff, R. & De Boeck, P. (2001), neurologia em Holden, A.V. (1976), biologia em Ricciardi, L.M. (1977), ciências biomédicas em Banks, H.T. (1975), epidemiologia em Bailey, N.T.J. (1957), análise política e processos sociais Cobb, L. (1981) e muitos outros campos da ciência e da engenharia.

Embora as equações diferenciais estocásticas sejam modelos bastante populares nas disciplinas mencionadas acima, há muita matemática por trás delas que geralmente não é trivial e cujos detalhes não são conhecidos por praticantes ou especialistas de outras áreas. Para tornar este texto útil para um público mais amplo, decidimos manter o nível matemático do texto suficientemente baixo e, muitas vezes, confiar em argumentos heurísticos para enfatizar as ideias subjacentes dos conceitos introduzidos, em vez de insistir em detalhes técnicos. Leitores com orientação matemática podem achar essa abordagem inconveniente, mas referências detalhadas são sempre fornecidas no texto.

O objetivo deste texto é duplo. A primeira é relembrar a teoria e implementar métodos para a simulação de caminhos de processos estocásticos \(\{X_t : t\geq 0\}\) soluções para equações diferenciais estocásticas (SDE), no sentido de que somente processos para os quais a escrita \(\mbox{d}X_t = S(X_t)\mbox{d}t + \sigma(X_t)\mbox{d}W_t\) tem um significado no sentido de Itô. Esta parte do livro contém uma revisão de resultados bem estabelecidos e suas implementações na linguagem R, mas também alguns resultados bastante recentes sobre simulação.

A segunda parte do texto é dedicada à revisão de alguns métodos de estimação para essas classes de processos estocásticos. Embora haja uma teoria bem estabelecida sobre estimação de observações no tempo contínuo a partir desses processos, ver Kutoyants, Y. (2004), a literatura sobre observações em tempo discreto está dispersa, embora vasta, em vários periódicos. Claro, dados reais, por exemplo, de finanças Carmona, R. (2004), Föolmer, H., Schied, A. (2002) sempre levam a lidar com observações em tempo discreto \(\{X_{t_i} : i = 1,\cdots, n\}\) e muitos dos resultados do caso de tempo contínuo não são válidos ou não podem ser aplicados, por exemplo, a verossimilhança das observações quase sempre não está disponível na forma explícita.

Deve ser observado que apenas as observaçõs são discretas, enquanto o modelo subjacente é contínuo; portanto, a maior parte da teoria padrão sobre processos de Markov em tempo discreto também não é válida.

Diferentes esquemas de observações podem ser considerados dependendo da natureza dos dados e a parte de estimação do problema não é necessariamente a mesma para os diferentes esquemas. Um caso, que é considerado natural é o esquema \(\Delta\)-fixo, no qual o intervalo de tempo entre duas observações subsequentes \(X_{t_i}\) e \(X_{t_i + \Delta_n}\) é fixo; ou seja, \(\Delta_n = \Delta\) ou é limitado a partir de zero e independente de \(n\). Nesse caso, o processo é observado no intervalo de tempo \([0, T = n\Delta]\) e os resultados assintóticos considerando \(n\to\infty\), resultados para amostras grandes.

O modelo subjacente pode ser ergódico ou estacionário e possivelmente homogêneo. Para tal esquema, o intervalo de tempo \(\Delta\) pode ter alguma influência nos estimadores porque, por exemplo, a densidade de transição do processo geralmente não é conhecida de forma explícita e deve ser aproximada por meio de simulações. Este é o caso mais difícil de lidar.

Outro esquema é o chamado de alta frequência, no qual o tamanho do passo observacional \(\Delta_n\) diminui com \(n\) e dois casos são possíveis: o intervalo de tempo é fixo, digamos \([0,T = n\Delta_n]\) ou \(n\Delta_n\) aumenta. No primeiro caso, nem homogeneidade, nem erogidice são necessárias, mas estimadores consistentes nem sempre estão disponíveis. Pelo contrário, no desenho experimental em rápido crescimento, quando \(\Delta_n\to 0\) e \(n\Delta_n\to \infty\) mas \(n\Delta_n^2\to 0\), podem ser obtidos estimadores consistentes junto com alguns resultados distributivos.

Outros esquemas interessantes podem ser consultados em Duffie, D. & Glynn, P. (2004), Iacus, S.M. (2002), Iacus, S.M, Uchida, M. & Yoshida, N. (2006), Delattre, S. (1997), Delattre, S. & Jacod, J. (1997), Gloter, A. & Jacod, J. (2001), Jacobsen, M. (2002) e Sørensen, M. & Uchida, M. (2003).

Como suporte computacional utilizamos a linguagem de programação e ambiente de desenvolvimento integrado para cálculos estatísticos e gráficos R, última versão 3.5.2, Eggshell Igloo de 20 de dezembro de 2018.

Parte I. Processos estocásticos e equações diferenciais estocásticas
1. Elementos de probabilidade e variáveis aleatórias
1. Esperança, variância e momentos
2. Mudança de medida e derivada Radon-Nikodým
2. Gerador de números aleatórios
3. O método Monte Carlo
4. Técnicas de redução de variância
5. Generalizades de processos estocásticos
1. Filtros
2. Variação simples e quadrática de um processo
3. Momentos, covariância e incrementos de processos estocásticos
4. Esperança condicional
5. Martingales
6. Movimento Browniano
1. Movimento Browniano como o limite de um passeio aleatório
2. Movimento Browniano como expansão em \(L^2[0,T]\)
3. Caminhos do movimento Browniano não são diferenciáveis em nenhum lugar
7. Movimento Browniano geométrico
8. Ponte Browniana
9. Integrais estocásticas e equações diferenciais estocásticas
1. Propriedades da integral estocástica e dos processos Itô
10. Processos de difusão
1. Ergodicidade
2. Propriedade Markoviana
3. Variação quadrática
4. Gerador infinitesimal de um processo de difusão
5. Como obter um martingal a partir de um processo de difusão
11. Fórmula de Itô
1. Ordem dos diferenciais na fórmula Itô
2. Equações diferenciais estocásticas lineares
3. Derivação das equações diferenciais estocásticas para o movimento Browniano geométrico
4. A transformada de Lamperti
12. Teorema de Girsanov e razão de verossimilhança para processos de difusão
13. Algumas famílias paramétricas de processos estocásticos
1. Processos de Ornstein-Uhlenbeck ou Vasicek
2. O modelo de movimento Black-Scholes-Merton ou Browniano geométrico
3. O modelo Cox-Ingersoll-Ross
4. A família de modelos Chan-Karolyi-Longstaff-Sanders
5. O modelo Cox-Ingersoll-Ross modificado e os processos hiperbólicos
6. Os processos hiperbólicos
7. O modelo de reversão média não linear Aït-Sahalia
8. O modelo de potencial de poço duplo
9. O processo de difusão de Jacobi
10. Modelo de Ahn & Gao ou inverso do modelo de raiz quadrada de Feller
11. Processo radial Ornstein-Uhlenbeck
12. Difusões de Pearson
13. Outra classificação de sistemas estocásticos lineares
14. Um modelo de epidemia
15. O modelo estocástico de cúspide catastrófica
16. Famílias exponenciais de difusões
17. Difusões Gaussiana inversa generalizada

Referências

• Abramowitz, M., Stegun, I.A. (1964). Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York.
• Ahn, D.H., Gao, B. (1999). A parametric nonlinear model of term structure dynamics. Rev. Financial Stud., 12, 721–762.
• Aït-Sahalia, Y. (1996). Nonparametric pricing of interest rate derivative securities. Econometrica, 64, 527–560.
• Aït-Sahalia, Y. (1996). Testing continuous-time models of the spot interest rate. Rev. Financial Stud., 9(2), 385–426.
• Aït-Sahalia, Y. (2002). Comment on G. Durham, A. Gallant, Numerical techniques for maximum likelihood estimation of continuous-time diffusion processes. J. Bus. Econ. Stat., 20, 297–316. J. Bus. Econ. Stat., 20, 317–321.
• Aït-Sahalia, Y. (2002). Maximum likelihood estimation of discretely sampled diffusions: a closed form approximation approach. Econometrica, 70, 223–262.
• Aït-Sahaia, Y, Lo, W. (1998) Nonparametric estimation of state price densities implicit in financial asset prices. J. Finance, 53, 499–547.
• Aït-Sahaia, Y. (1999). Transition densities for interest rate and other nonlinear diffusions. J. Finance, 54, 1361–1395.
• Akaike, H. (1973). Information theory and an extension of the maximum likelihood principle. 2nd International Symposium in Information Theory, Petrov,B.N., Csaki, F., eds., Akademiai Kaido, Budapest, 267–281.
• Akaike, H. (1974). A new look at the statistical model identification. IEEE Trans. Autom. Control, AC-19, 716–723.
• Albert, J. (2007). Bayesian Computation with R. Use R Series, Springer, New York.
• Alcock, J., Burrage, K. (2004). A genetic estimation algorithm for parameters of stochastic ordinary differential equations. Comput. Stat. Data Anal., 47, 255–275.
• Arato, M. (1982). Linear Stochastic Systems with Constant Coefficients: A Statistical Approach. Lecture Notes in Control and Information Sciences, 45, Springer, Berlin.
• Arnold, L. (1974). Stochastic Differential Equations: Theory and Applications. John Wiley and Sons, New York.
• Bai, J. (1994). Least squares estimation of a shift in linear processes. J. Time Ser. Anal., 15, 453–472.
• Sørensen, H. (2004). Parametric inference for diffusion processes observed at discrete points in time: a survey, Int. Stat. Rev., 72(3), 337–354.
• Sørensen, M. (1997). Estimating functions for discretely observed diffusions: a review, in Selected Proceedings of the Symposium on Estimating Functions, Basawa, I.V., Godabme, V.P., Taylor, R.L., eds, Volume 32, IMS Lecture Notes, Institute of Mathematical Statistics, Hayward, CA, 305–325.
• Sørensen, M. (1999). On asymptotics of estimating functions, Braz. J. Probab. Stat., 13, 111–136.
• Sørensen, M. (2007). Exponential family inference for diffusion models, Research Report N.383, Department of Mathematical Sciences, University of Copenhagen. Available at http://www.math.ku.dk/~michael/glm.pdf
• Sørensen, M., Uchida, M. (2003). Small-diffusion asymptotics for discretely sampled stochastic differential equations, Bernoulli, 9, 1051–1069.
• Stanton, R. (1997). A nonparametric model of term structure dynamics and the market price of interest rate risk, J. Finance, 52, 1973–2002.
• Stroock, D.W., Varadhan, S.R.S. (1979). Multidimensional Diffusion Processes, Springer-Verlag, New York.
• Takeuchi, K. (1976). Distribution of information statistics and criteria for adequacy of models, Math. Sci., 153, 12–18 (in Japanese).
• Tuerlink, F., Maris, E., Ratcliff, R., De Boeck, P. (2001). A comparison of four methods for simulating the diffusion process, Behav. Res. Methods Instrum. Comput., 33(4), 443–456.
• Uchida, M. (2003). Estimation for dynamical systems with small noise from discrete observations, J. Jpn. Stat. Soc, 33, 157–167.
• Uchida, M., Yoshida, N. (2005). AIC for ergodic diffusion processes from discrete observations, preprint MHF 2005-12, March 2005, Faculty of Mathematics, Kyushu University, Fukuoka, Japan.
• Uhlenbeck, G.E., Ornstein, L.S. (1930). On the theory of Brownian motion, Phys. Rev., 36, 823–841.
• Vasicek, O. (1977). An equilibrium characterization of the term structure, J. Financial Econ., 5, 177–188.
• Venables, W. N., Ripley, B. D. (2000). S Programming, Springer, New York.
• von Neumann, J. (1951). Various techniques used in connection with random digits, in The Monte Carlo Method, Householder, A.S., et al., eds, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, 12, 36–38.
• Wichern, D.W., Miller, R.B., Hsu, D.A. (1976). Changes of variance in firstorder autoregressive time series models with an application, Appl. Stat., 25(3), 248–256.
• Wichura, M.J. (1988). Algorithm AS 241: the percentage points of the normal distribution, Appl. Stat., 37, 477–484.
• Wong, E. (1964). The construction of a class of stationary Markov processes, in Stochastic Processes in Mathematical Physics and Engineering, Bellman, R., ed., American Mathematical Society, Providence, RI, 264–276.
• Yoshida, N. (1992). Estimation for diffusion processes from discrete observation, J. Multivar. Anal., 41(2), 220–242.
• Zeeman, E.C. (1977). Catastrophe Theory: Selected Papers, Addison-Wesley, Reading, MA.
• Zhou, H. (2001). Finite sample properties of EMM, GMM, QMLE, and MLE for a square-root interest rate diffusion model, J. Comput. Finance, 5, 89–122.