Dependência

Neste artigo exploramos maneiras pelas quais copulas podem ser usadas no estudo de dependência ou associação entre variáveis aleatórias. Como Jogdeo (1982) observa, relações de dependência entre variáveis aleatórias é um dos assuntos mais amplamente estudados em probabilidade e estatística. A natureza da dependência pode assumir uma variedade de formas e, a menos que algumas suposições específicas sejam feitas sobre a dependência, nenhum modelo estatístico significativo pode ser contemplado.

Existe uma variedade de maneiras de discutir e medir a dependência. Como veremos, muitas dessas propriedades e medidas são, nas palavras de Hoeffding (1940), Hoeffding (1941), “invariantes de escala”, ou seja, permanecem inalteradas sob transformações estritamente crescentes das variáveis aleatórias. Como observamos, “… é precisamente a copula que captura aquelas propriedades da distribuição conjunta que são variantes sob transformações quase certamente estritamente crescentes”, Schweizer and Wolff (1981).

Vamos demonstrar que propriedades e medidas “invariantes de escala” são expressáveis em termos de copulas das variáveis aleatórias. O foco deste artigo é uma exploração do papel que as copulas desempenham no estudo da dependência. Propriedades de dependência e medidas de associação são inter-relacionadas e, então, em muitos lugares poderíamos começar este estudo. Porque as medidas de associação invariantes de escala mais amplamente conhecidas são as versões populacionais do \(\tau\) de Kendall e do \(\rho\) de Spearman, ambos “medem” uma forma de dependência conhecida como concordância, nós começaremos por aí.

Uma nota sobre terminologia: reservaremos o termo “coeficiente de correlação” para uma medida da dependência linear entre variáveis aleatórias, por exemplo, coeficiente de correlação produto-momento de Pearson e usaremos o termo mais moderno “medida de associação” para medidas como \(\tau\) de Kendall e \(\rho\) de Spearman.

• 1. Definições e propriedades básicas
• 1.1. Copulas
• 1.2. Teorema de Sklar
• 1.3. Copulas e variáveis aleatórias
• 1.4. Os limites de Fréchet-Hoeffding para funções de distribuição conjunta
• 1.5. Copulas de sobrevivência
• 1.6. Simetria
• 1.7. Ordem
• 1.8. Geração de variáveis aleatórias
• 1.9. Copulas multivariadas
• 1.10. Exercícios
• 1.11. Bibliografia
• 2. Métodos de construção de copulas
• 2.1. O método de inversão
• 2.1.1. A distribuição exponencial bivariada Marshall-Olkin
• 2.1.2. A distribuição uniforme circular
• 2.2. Métodos geométricos
• 2.2.1. Copulas singulares com suporte prescrito
• 2.2.2. Somas ordinais
• 2.2.3. Embaralhamentos de \(M\)
• 2.2.4. Somas convexas
• 2.2.5. Copulas com seções horizontais ou verticais prescritas
• 2.2.6. Copulas com seções diagonais prescritas
• 2.3. Métodos algébricos
• 2.3.1. Distribuições de Plackett
• 2.3.2. Distribuições de Ali-Mikhail-Haq
• 2.3.3. O método de transformação de copula
• 2.3.4. Copulas de valor extremo
• 2.4. Copulas com propriedades específicas
• 2.4.1. Copulas harmônicas
• 2.4.2. Copulas homogêneas
• 2.4.3. Copulas côncavas e convexas
• 2.5. Construindo copulas multivariadas
• 2.6. Exercícios
• 2.7. Bibliografia
• 3. Copulas de Arquimedes
• 3.1. Definições
• 3.2. Famílias de um parâmetro
• 3.3. Propriedades fundamentais
• 3.4. Ordem e casos limites
• 3.5. Famílias de dois parâmetros
• 3.5.1. Famílias de geradores
• 3.5.2. Copulas de Arquimedes racionais
• 3.6. Copulas de Arquimedes multivariadas
• 3.7. Exercícios
• 3.8. Bibliografia
• 4. Dependência
• 4.1. Correlação linear
• 4.2. Concordância
• 4.2.1. Medida de associação de Kendall
• 4.2.2. Medida de associação de Spearman
• 4.2.3. A relação entre \(\tau\) de Kendall e \(\rho\) de Spearman
• 4.2.4. Outras medidas de concordância
• 4.3. Propriedades da dependência
• 4.3.1. Dependência de quadrante
• 4.3.2. Monotonicidade da cauda
• 4.3.3. Monotonicidade estocástica
• 4.4. Outras medidas de associação
• 4.4.1. Medidas de dependência
• 4.4.2. Medidas baseadas no coeficiente de Gini
• 4.5. Dependência de cauda
• 4.6. Regressão Mediana
• 4.7. Copulas empíricas
• 4.8. Dependência multivariada
• 4.9. Exercícios
• 4.10. Bibliografia
• 6. Modelando distribuições multivariadas usando copulas
• 6.1 Teste de independência multivariada
• 6.2

Bibliografia

Hoeffding, W. 1940. “Masstabinvariante Korrelationstheorie.” Schriften Des Matematischen Instituts Und Des Instituts Für Angewandte Mathematik Der Universität Berlin, no. 3: 179–233.

———. 1941. “Masstabinvariante Korrelationsmasse Für Diskontinuierliche Verteilungen.” Arkiv Für Matematischen Wirtschaften Und Sozialforschung, no. 7: 49–70.

Jogdeo, K. 1982. “Concepts of Dependence.” Encyclopedia of Statistical Sciences, no. Vol. 1: 324–34.

Schweizer, B., and E. F. Wolff. 1981. “On Nonparametric Measures of Dependence for Random Variables.” Annals of Statistics, no. 9: 879–85.