10 Testes mais poderosos

O objetivo desta aula é revisar os conceitos de testes mais poderosos e testes uniformemente mais poderosos utilizando o programa R quando necessário.

10.1 Exercícios

1. Seja $X_1, X_2, \cdots, X_n$ uma amostra aleatória da distribuição Exp($\theta$), onde $\theta=0.50$ ou $\theta=0.75$.

   (a)

   Deseja-se testar $H_0:\theta=0.50 \times H_1:\theta=0.75$ ao nível de significância de 5%. Construa um teste adequado.

   (b)

   Tomando-se uma amostra de tamanho 10 dessa distribuição obteve-se os seguintes valores:

   0.97 0.36 1.45 0.66 1.73 1.44 0.41 1.87 2.13 0.18
   

   Com base nesta amostra e utilizando o teste construído em (a) temos ou não temos evidência para rejeitar $H_0$?

   (c)

   Qual o poder deste teste?

   (d)

   O teste das hipóteses $H_0:\theta \leq 0.50 \times H_1:\theta > 0.5$ seria diferente do teste obtido em (a)?

2. Seja $X_1, X_2, \cdots, X_n$ uma amostra aleatória da $N(\theta,25)$.

   (a)

   Encontre o teste mais poderoso de tamanho $\alpha=0.1$ com $n=100$ para testar $H_0: \theta=17 \times H_1:\theta=19$

   (b)

   Com base no teste construído em (a) qual seria sua decisão quanto à rejeição ou não da hipótese $H_0$ caso uma amostra de tamanho $n=100$ dessa distribuição apresentasse uma média amostral $\bar{x}=18.23$?

   (c)

   Qual o poder desse teste?

   (d)

   Encontre o teste uniformemente mais poderoso de tamanho $\alpha=0.1$ com $n=100$ para testar $H_0: \theta \leq 17 \times H_1:\theta > 17$.

   (e)

   Construa a curva de poder desse teste. Compare essa curva com a de um teste alternativo onde $H_0$ é rejeitada se $X_1 \geq 17$.

   (f)

   Com base no teste construído em (d) a sua decisão quanto à rejeição ou não da hipótese $H_0$ mudaria com base na amostra de tamanho $n=100$ dessa distribuição de média amostral $\bar{x}=18.23$?

3. Seja $X_1, X_2, \cdots, X_n$ uma amostra aleatória da Bernoulli$(\theta)$.

   (a)

   Encontre o teste mais poderoso de tamanho $\alpha=0.05$ com $n=10$ para testar $H_0: \theta=0.75 \times H_1:\theta=0.5$.

   (b)

   Com base no teste construído em (a) qual seria sua decisão quanto à rejeição ou não da hipótese $H_0$ caso tivessemos uma amostra de tamanho $n=10$ dessa distribuição, com proporção amostral de sucesso $\hat{\theta}=0.6$?

   (c)

   Encontre o teste UMP de tamanho $\alpha=0.05$ com $n=10$ para testar $H_0: \theta \geq 0.75 \times H_1:\theta<0.75$.

4. Seja $X_1, X_2, \cdots, X_n$ uma amostra aleatória da distribuição Poisson$(\theta)$. Encontre o teste UMP de $H_0:\theta\geq \theta_0 \times H_1:\theta<\theta_0$, e trace a função poder para $\theta_0=1$ e $n = 25$ (com $\alpha=0.05$).