9 Função Poder

Nesta aula vamos utilizar o R para ilustrar alguns conceitos da teoria de testes de hipóteses e em particular relacionados com a função poder do teste.

9.1 Distribuição normal com variância conhecida

Seja $X_1, X_2, \ldots, X_n$ uma amostra aleatória da distribuição normal com média $\theta$ e variância conhecida igual à 25. Considere a hipótese nula $H_0 : \theta \leq 17$ e o teste:
Rejeita-se $H_0$ se e somente se $\bar{x} > 17 + \frac{5}{\sqrt{n}}$.

1. Construa a função poder e calcule o tamanho do teste para $n = 25$.
2. Compare graficamente a função poder para diferentes valores de tamanho de amostra, $n = 5, 10, 20, 30, 50$.

A função poder $\gamma(\theta)$ é dada por

$$\begin{eqnarray}\html{eqn1} \gamma(\theta) &=& P_{\theta}[Rej.\; H_0] = P_{\the... ...1 - P_{\theta}\left[\bar{x} \leq 17 + \frac{5}{\sqrt{n}}\right] \end{eqnarray}$$

Como $X_i \sim N(\theta, 25)$ sabemos que $\bar{X} \sim N(\theta, 5)$ e, padronizando a variável temos que $z = \frac{\bar{x} - \theta}{s/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$. Portanto podemos escrever a função poder como

$$\begin{eqnarray}\html{eqn3} \gamma(\theta) &=& 1 - P\left[Z \leq \frac{17 + \fr... ...theta}{5/\sqrt{n}}\right] \\ &=& 1 - P[Z \leq q] = 1 - \Phi(q) \end{eqnarray}$$

onde $q = \frac{17 + \frac{5}{\sqrt{n}} - \theta}{5/\sqrt{n}}$.

Vamos agora utilizar o R para fazer o gráfico da função poder. Primeiro definimos valores de $\theta$, depois calculamos os quantis $q$ correspondentes a estes valores, para cada quantil usamos a função pnorm() para calcular o poder e por fim fazemos o gráfico. Podemos usar os seguintes comandos.

theta <- seq(13, 22, l=100)
q <- (17 + (5/sqrt(25)) - theta)/(5/sqrt(25))
poder <- 1 - pnorm(q)
plot(theta, poder, ty="l", xlab = expression(theta), 
     ylab = expression(gamma(theta)))

O gráfico da função poder é mostrado na Figura 15.

Figura : Função poder para $n = 25$.

Vamos agora calcular o tamanho do teste $\alpha$ que é dado por

$$\alpha = \sup_{\theta \in \Theta_0} \gamma(\theta)$$

Portanto para este exemplo temos:

$$\begin{eqnarray}\html{eqn5} \alpha &=& \sup_{\theta \leq 17} \left[ P_{\theta} ... ...c{5}{\sqrt{n}} \right] \\ &=& 1 - P[Z < 1] = 1 - \Phi(1) = 0.159 \end{eqnarray}$$

Pode-se ainda usar a função lines para adicionar a este gráfico uma outra função com um outro valor $n$ de tamanho de amostra. Por exemplo, para $n=10$, executando os comandos abaixo obtemos o gráfico indicado na Figura 16.

q <- (17 + (5/sqrt(10)) - theta)/(5/sqrt(10))
poder <- 1 - pnorm(q)
lines(theta, poder, lty=2)
legend(14, 1, c("n = 10", "n = 25"), lty=c(2,1))

Figura : Função poder para $n=10$ e $n = 25$.

Uma solução um pouco mais elegante no R é escrever uma função para plotar o função poder e depois rodar esta função:

poder.f <- function(n, t.min, t.max){
  theta <- seq(t.min, t.max, l=100)
  q <- (17 + (5/sqrt(n)) - theta)/(5/sqrt(n))
  poder <- 1 - pnorm(q)
  plot(theta, poder, ty = "l", xlab = expression(theta), 
       ylab = expression(gamma(theta)))
}

poder.f(25, 10, 25)
poder.f(25, 14, 22)

A função acima tem 3 argumentos: o tamanho da amostra e os valores mínimos e máximos para $\theta$. Ao chamar esta função o gráfico é automaticamente mostrado na janela gráfica.

Agora vamos sofisticar a função mais um pouco. Vamos adicionar o argumento add para permitir adicionar uma função a um gráfico já existente. Além disto vamos usar o mecanismo de $\ldots$ para poder passar argumentos de tipo de linhas, cores, etc.

poder.f <- function(n, t.min, t.max, add = FALSE, ...){
  theta <- seq(t.min, t.max, l=100)
  q <- (17 + (5/sqrt(n)) - theta)/(5/sqrt(n))
  poder <- 1 - pnorm(q)
  if(add)
  lines(theta, poder, ...)
    else
  plot(theta, poder, ty="l", xlab=expression(theta),
       ylab=expression(gamma(theta)), ...)
}

E usando a função com os comandos abaixo obtemos o gráfico mostrado na Figura 17.

poder.f(5, 14, 24)
poder.f(10, 14, 24, add = T, lty = 2)
poder.f(20, 14, 24, add = T, col = 2)
poder.f(30, 14, 24, add = T, lty = 2, col = 2)
poder.f(50, 14, 24, add = T, col = 3)
legend(20, 0.3, c("n = 5","n = 10","n = 20","n = 30","n = 50"),
       lty=c(1,2,1,2,1), col=c(1,1,2,2,3))

Figura : Função poder para diferentes tamanhos de amostra.

9.2 Exercícios

1. Um valor $y$ amostrado de uma variável aleatória com distribuição $N(\theta, 1)$ é usado para testar a hipótese $H_0: \theta \leq 0$ vs $H_1: \theta > 0$. Define-se que a região de aceitação é dada por ${y : y < 1/2}$. Faça o gráfico da função poder e calcule o tamanho do teste.
2. Suponha que uma amostra $X_1, X_2, \ldots X_3$ é retirada de uma distribuição uniforme no intervalo $(0, \theta)$, onde o valor de $\theta$ ($\theta > 0$) é desconhecido. Deseja-se testar a hipótese:
   
   $$\left\{ \begin{array}{ll} H_0: & 3 \leq \theta \leq 4 \\ ... ...\theta < 3 \; \mbox{ ou } \; \theta > 4 \end{array} \right .$$
   
   

   Sabemos que o EMV de $\theta$ é $Y_n = \max(X_1, X_2, \ldots X_n)$. Define-se a região de crítica do teste como $\{Y_n: Y_n < 2.9 \;\mbox{ ou }\; Y_n > 4\}$. Obtenha para $n = 68$ um gráfico da função poder e calcule o tamanho do teste.

3. Suponha que a proporção $p$ de ítens defeituosos em uma população de ítens é desconhecida, e deseja-se testar a seguinte hipótese:
   
   $$\left\{ \begin{array}{ll} H_0: & p = 0.2 \\ H_1: & p \neq 0.2. \end{array} \right .$$
   
   

   Suponha ainda que uma amostra aleatória de 20 ítens é retirada desta população. Denote por $y$ o número de ítens defeituosos na amostra e considere um teste cuja a região crítica é definida por $\{y : y \geq 7 \; \mbox{ ou }\; y \leq 1\}$. Faça um gráfico da função poder e determine o tamanho do teste.