Nesta sessão vamos ver mais alguns exemplos sobre como utilizar o R para obter intervalos de confiança e testar hipóteses sobre parâmetros de interesse na população, a partir de dados obtidos em amostras. Para isto vamos ver alguns problemas típicos de cursos de estatística básica.
Quando estudamos a relação entre duas variáveis qualitativas fazemos uma tabela com o resultado do cruzamento desta variáveis. Em geral existe interesse em verificar se as variáveis estão associadas e para isto calcula-se uma medida de associação tal como o χ2, coeficiente de contingência C, ou similar. O passo seguinte é verificar se existe evidência suficiente nos dados para declarar que a variáveis estão associadas. Uma possível forma de testar tal hipótese é utilizando o teste χ2 .
Para ilustrar o teste vamos utilizar o conjunto de dados HairEyeColor que já vem disponível com o R. Para carregar e visualizar os dados use os comando abaixo.
> data(HairEyeColor)
> HairEyeColor > as.data.frame(HairEyeColor) |
Para saber mais sobre estes dados veja help(HairEyeColor) Note que estes dados já vem “resumidos” na forma de uma tabela de frequências tri-dimensional, com cada uma das dimensões correspondendo a um dos atributos - cor dos cabelos, olhos e sexo.
Para ilustrar aqui o teste χ2 vamos verificar se existe associação entre 2 atributos: cor dos olhos e cabelos entre os indivíduos do sexo feminino. Portanto as hipóteses são:
| H0 : | não existe associação |
| Ha : | existe associação |
Vamos adotar α = 5% como nível de significância. Nos comandos abaixo primeiro isolamos apenas a tabela com os indivíduos do sexo masculino e depois aplicamos o teste sobre esta tabela.
> HairEyeColor[,,1]
Eye Hair Brown Blue Hazel Green Black 32 11 10 3 Brown 38 50 25 15 Red 10 10 7 7 Blond 3 30 5 8 > chisq.test(HairEyeColor[,,1]) Pearson's Chi-squared test data: HairEyeColor[, , 1] X-squared = 42.1633, df = 9, p-value = 3.068e-06 Warning message: Chi-squared approximation may be incorrect in: chisq.test(HairEyeColor[, , 1]) |
O p - value sugere que a associação é significativa. Entretanto este resultado deve ser visto com cautela pois a mensagem de alerta (Warning message) emitida pelo programa chama atenção ao fato de que há várias caselas com baixa frequência na tabela e portanto as condições para a validade do teste não são perfeitamente satisfeitas.
Uma possibilidade neste caso é então usar o p - value calculado por simulação, ao invés do resultado assintótico usado no teste tradicional.
> chisq.test(HairEyeColor[,,1], sim=T)
Pearson's Chi-squared test with simulated p-value (based on 2000 replicates) data: HairEyeColor[, , 1] X-squared = 42.1633, df = NA, p-value = 0.0004998 |
Note que agora a mensagem de alerta não é mais emitida e que a significância foi confirmada (P-valor < 0.05). Note que se voce rodar este exemplo poderá obter um p - value um pouco diferente porque as simulações não necessariamente serão as mesmas.
Lembre-se de inspecionar help(chisq.test) para mais detalhes sobre a implementação deste teste no R.
Quando temos duas variáveis quantitativas podemos utilizar o coeficiente de correlação linear para medir a associação entre as variáveis, se a relação entre elas for linear. Para ilustrar o teste para o coeficiente linear de Pearson vamos estudar a relação entre o peso e rendimento de carros. Para isto vamos usar as variáveis wt (peso) e mpg (milhas por galão) do conjunto de dados mtcars.
> data(mtcars)
> attach(mtcars) > cor(wt, mpg) [1] -0.8676594 > cor.test(wt, mpg) Pearson's product-moment correlation data: wt and mpg t = -9.559, df = 30, p-value = 1.294e-10 alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 95 percent confidence interval: -0.9338264 -0.7440872 sample estimates: cor -0.8676594 > detach(mtcars) |
Portanto o p-valor acima mmostra que a correlação encontrada de -0.87 difere significativamente de zero. Note que uma análise mais cuidadosa deveria incluir o exame do gráfico entre estas duas variáveis para ver se o coeficiente de correlação linear é adequado para medir a associação.
Quando temos uma variável qualitativa com dois níveis e outra quantitativa a análise em geral recai em comparar as médias da quantitativa para cada grupo da qualitativa. Para isto podemos utilizar o testeT. Há diferentes tipos de teste T: para amostras independentes ou pareadas, variâncias iguais ou desiguais. Além disto podemos fazer testes uni ou bilaterais. Todos estes podem ser efetuados com a função t.test. Usando argumentos desta função definimos o tipo de teste desejado. No exemplo abaixo veremos um teste unilateral, para dois grupos com variâncias consideradas iguais.
Considere o seguinte exemplo:
Os dados a seguir correpondem a teores de um elemento indicador da qualidade de um certo produto
vegetal. Foram coletadas 2 amostras referentes a 2 métodos de produção e deseja-se comparar as médias
dos métodos fazendo-se um teste t bilateral, ao nível de 5% de significância e considerando-se as variâncias
iguais.
| Método 1 | 0.9 | 2.5 | 9.2 | 3.2 | 3.7 | 1.3 | 1.2 | 2.4 | 3.6 | 8.3 |
| Método 2 | 5.3 | 6.3 | 5.5 | 3.6 | 4.1 | 2.7 | 2.0 | 1.5 | 5.1 | 3.5 |
> m1 <- c(0.9, 2.5, 9.2, 3.2, 3.7, 1.3, 1.2, 2.4, 3.6, 8.3)
> m2 <- c(5.3, 6.3, 5.5, 3.6, 4.1, 2.7, 2.0, 1.5, 5.1, 3.5) t.test(m1,m2, var.eq=T) Two Sample t-test data: m1 and m2 t = -0.3172, df = 18, p-value = 0.7547 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -2.515419 1.855419 sample estimates: mean of x mean of y 3.63 3.96 |
Os resultados mostram que não á evidências para rejeitar a hipótese de igualdade entre as médias.
| Machos | 145 | 127 | 136 | 142 | 141 | 137 |
| Fêmeas | 143 | 128 | 132 | 138 | 142 | 132 |
Obtenha intervalos de confiança para a razão das variâncias e para a diferença das médias dos dois grupos.
Dica: Use as funções var.test e t.test