Miscelânia de funcionalidades do R

5 Miscelânia de funcionalidades do R

5.1 O R como calculadora

Podemos fazer algumas operações matemáticas simples utilizando o R. Vejamos alguns exemplos calculando as seguintes somas:

10² + 11² + … + 20²
Para obter a resposta devemos
- criar uma sequência de números de 10 a 20
- elevar ao quadrado cada valor deste vetor
- somar os elementos do vetor
E estes passos correspondem aos seguintes comandos
  > (10:20)

   [1] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

  > (10:20)^2

   [1] 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400

  > sum((10:20)^2)

  [1] 2585

Note que só precisamos do último comando para obter a resposta, mas é sempre útil entender os comandos passo a passo!
+ + + … + ,
onde log é o logarítmo neperiano. Agora vamos resolver com apenas um comando:
> sum(sqrt(log(10^(0:6))))

[1] 16.4365

5.2 Gráficos de funções

Para ilustrar como podemos fazer gráficos de funções vamos considerar cada uma das funções a seguir cujos gráficos são mostrados nas Figuras 5.2 e 5.2.

f(x) = 1 - sin(x) para 0 ≤ x ≤ 50
f(x) = exp[-(x - 100)²] para 85 ≤ x ≤ 115

A idéia básica é criar um vetor com valores das abscissas (valores de x) e calcular o valor da função (valores de f(x)) para cada elemento da função e depois fazer o gráfico unindo os pares de pontos. Vejamos os comandos para o primeiro exemplo.

  > x1 <- seq(0, 50, l = 101)
  > y1 <- 1 - (1/x1) * sin(x1)
  > plot(x1, y1, type = "l")

Note que este procedimento é o mesmo que aprendemos para fazer esboços de gráficos a mão em uma folha de papel!

Figura 1:

Gráfico da função dada em (a).

Há ainda uma outra maneira de fazer isto no R utilizando plot.function() conforme pode ser visto no comando abaixo que nada mais faz que combinar os três comandos acima em apenas um.

> plot(function(x) 1 - (1/x) * sin(x), 0, 50)

Vejamos agora como obter o gráfico para a segunda função.

  > x2 <- seq(80, 120, l = 101)
  > y2 <- (1/sqrt(50 * pi)) * exp(-0.02 * (x2 - 100)^2)
  > plot(x2, y2, type = "l")

Figura 2:

Gráfico da função dada em (b).

Note ainda que esta função é a densidade da distribuição normal e o gráfico também poderia ser obtido com:

> y2 <- dnorm(x2, 100, 5)
> plot(x2, y2, type = "l")

ou ainda:

> plot(function(x) dnorm(x, 100, 5), 85, 115)

5.3 Integração numérica

A função integrate() é usada para integração numérica em uma dimensão. Como exemplo vamos considerar resolver a seguinte integral:

∫ 3 I = x2dx. -3

(1)

Para resolver a integral devemos criar uma função no R com a expressão da função que vamos integrar e esta deve ser passada para integrate() conforme este exemplo:

> fx <- function(x) x^2
> integrate(fx, -3, 3)

18 with absolute error < 2e-13

A integral acima corresponde à área mostrada no gráfico da Figura 5.3. Esta figura é obtida com os seguinte comandos:

  > x <- seq(-4, 4, l = 100)
  > x2 <- x^2
  > plot(x, x^2, ty = "l")
  > x <- seq(-3, 3, l = 100)
  > x2 <- x^2
  > polygon(rbind(cbind(rev(x), 0), cbind(x, x2)), col = "gray")

Figura 3:

Gráfico onde a área indicada corresponde à integral definida na equação equation 1.

Vejamos mais um exemplo. Sabemos que para distribuições contínuas de probabilidades a integral está associada a probabilidade em um intervalo. Seja f(x) uma f.d.p. de uma variável contínua, então P (a < X < b) = ∫ _a^bf(x)dx. Por exemplo, seja X v.a. com distribuição N(100, 81) e portanto f(x) = 1√
92π exp{- 1--
162 (x - 100)²}. A probabilidade P(85 < X < 105) pode ser calculada das três formas diferentes que irão retornar os memos resultados conforma mostrado a seguir.

  > fx <- function(x) {
  +     (1/(9 * sqrt(2 * pi))) * exp(-(1/162) * (x - 100)^2)
  + }
  > integrate(fx, 85, 105)

0.6629523 with absolute error < 7.4e-15

> integrate(function(x) dnorm(x, 100, 9), 85, 105)

0.6629523 with absolute error < 7.4e-15

> pnorm(105, 100, 9) - pnorm(85, 100, 9)

[1] 0.6629523

5.4 Matemática simbólica no R

Embora o R seja um programa predominantemente para operações numéricas, é possivel obter alguns resultados simbólicos, em particular para expressões de derivadas que podem ser informadas para algorítimos de otimização numérica. A forma básica de utilização consiste em: (i) defina a expressão desejada dentro de quote(), (ii) use D() para obter a expressão da derivada desejada informando a expressão e o termo em relação ao qual deseja-se derivar a expressão, (iii) use eval() caso queira obter o valor numérico de uma determinada expressão. A documentação help(D) fornece mais detalhes. Vejamos um exemplo.

> f <- quote(sin(x^2 + log(y + z)))
> f

sin(x^2 + log(y + z))

> df.dx <- D(f, "x")
> df.dx

cos(x^2 + log(y + z)) * (2 * x)

> df.dy <- D(f, "y")
> df.dy

cos(x^2 + log(y + z)) * (1/(y + z))

> eval(f, list(x = 1, y = 2, z = 3))

[1] 0.5073913

> eval(df.dx, list(x = 1, y = 2, z = 3))

[1] -1.723432

Existem programas computacionais especializados em matemática simbólica dentre os quais destacam-se os projetos axiom e maxima.

o programa axiom está disponível em
o programa maxima está disponível em

5.5 Exercícios

Calcule o valor das expressões abaixo
1. Seja x = (12, 11, 14, 15, 10, 11, 14, 11).
  Calcule E = -nλ + (∑ ₁ⁿx_i) log(λ) -∑ ₁ⁿ log(x_i!), onde n é o número de elementos do vetor x e λ = 10.
  Dica: o fatorial de um número pode ser obtido utilizando a função prod. Por exemplo o valor de 5! é obtido com o comando prod(1:5).
  Há ainda uma outra forma usando a função Gama e lembrando que para a inteiro, Γ(a + 1) = a!. Portanto podemos obter o valor de 5! com o comando gamma(6).
2. E = (π)² + (2π)² + (3π)² + ... + (10π)²
3. E = log (x + 1) + log() + log() + … + log(), para x = 10
Obtenha o gráfico das seguintes funções:
1. f(x) = x¹²(1 - x)⁸ para 0 < x < 1
2. Para ϕ = 4,
  ${ 1 - 1.5 h + 0.5(h)3 , se h < ϕ ρ(h) = ϕ ϕ 0 , caso contrário$
Considerando as funções acima calcule as integrais a seguir e indique a área correspondente nos gráficos das funções.
1. I₁ = ∫ _0.2^0.6f(x)dx
2. I₂ = ∫ _1.5^3.5ρ(h)dh
Mostre os comandos para obter as seguintes sequências de números
1. 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2. 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3
3. 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
Escreva a sequência de comandos para obter um gráfico x versus y, onde x é um vetor com 100 valores igualmente espaçados no intervalo [-1, 1] e y = sin(x) * exp(-x).
Escreva uma sequência de comandos no R para calcular a soma dos 80 primeiros termos das séries:
1. 1 + 1/32 + 1/52 + 1/72 + 1/92 + ...
2. 1 - 1/22 + 1/32 - 1/42 + 1/52 - 1/62 + ...

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