23 Fórmulas e especificação de modelos

Objetos do R podem ser separados entre objetos de dados (vetores, matrizes, arrays, data-frames e listas) e outros tipos de objetos. As fórmulas constituem um tipo especial de objeto no Rque representam simbolicamente relação entre variáveis e/ou objetos de dados. Fórmulas podem são em geral usadas em funções gráficas e funções que analisam dados a partir de algum modelo definido pela fórmula.

Nesta seção vamos fazer uma breve introdução ao uso de fórmulas através de alguns exemplos de análises de dados. Para isto iremos utilizar o conjunto de dados mtcars disponível com o R. Este conjunto contém características técnicas de diversos modelos da automóvel. Para carregar os dados e e listar os nomes das variáveis utilize os comandos a seguir. Lembre-se ainda que help(mtcars) irá fornecer mais detalhes sobre estes dados.

23.1 Fórmulas em gráficos

Algumas (mas não todas!) funções gráficas do R aceitam uma fórmula como argumento. Em geral tais funções exibem gráficos para explorar a relação entre variáveis. O R possui dois tipos de sistemas gráficos: (i) gráficos base (base graphics) e (ii) gráficos lattice. Os exemplos mostrados aqui se referem apenas ao primeiro sistema. Gráficos láttice são disponibilizados pelo pacote lattice. no qual as fórmulas são ainda mais importante e largamente utilizadas.

A Figura 52 mostra dois tipos de gráficos que são definidos a partir de fórmulas. No primeiro a variável de rendimento (mpg: milhas por galão) é relacionada com uma variável categórica (cyl: número de cilindros). No segundo caso o rendimento é relacionado com o peso do veículo. A fórmula do tipo y ~ x pode ser lida como: a variável y é explicada por x.

A Figura 23.1 mostra agora um exemplo onde o gráfico de rendimento explicado pelo peso é feito para cada número de cilindros separadamente. Neste caso a formula usa o símbolo | para indicar condicionamento e é do tipo y ~ x|A podendo ser lida como a relação entre y e x para cada nível da variável A.

23.2 Fórmulas em funções

Assim como no caso de gráficos, algums funções de análise de dados também aceitam fórmulas em seus argumentos. Considere o exemplo do texte-t para comparação de duas amostras na comparação do rendimento de veículos com cambio automático e manual. No exemplo a seguir mostramos o uso da função de duas formas que produzem resultados idênticos, uma sem usar fórmula e outra usando fórmula.

Portanto em mpg ~ am pode-se ler: rendimento (mpg) explicado por tipo de câmbio (am). De forma similar a função para comparação de variâncias também pode utilizar fórmulas.

23.3 O objeto da classe formula

A fórmula é um objeto do R e possui a classe formula. Desta forma, funções que tenham métodos para esta classe tratam o objeto adequadamente. Por exemplo, no caso de t.test recebendo uma formula como argumento o método formula para t.test é disponível, como indica a documentação da função.

A seguir reforçamos estas idéias e vemos alguns comandos aplicados à manipulação de fórmulas. As funções all.vars() e terms() são particularmente úteis para manipulação de fórmulas o objetos dentro de funções.

23.4 Especificação de modelos com uma covariável

Entre os diversos usos de fórmulas, o mais importante deles é sem dúvida o fato que fórmulas são utimizadas na declaração de modelos estatísticos. Um aspecto particularmente importante da linguagem S, o portanto no programa R, é que adota-se uma abordagem unificada para modelagem, o que inclui a sintaxe para especificação de modelos. Variáveis respostas e covariáveis (variáveis explanatórias) são sempre especificadas de mesma forma básica, ou seja, na forma resposta ~ covariavel, onde:

• à esquerda indica-se a(s) variável(eis) resposta
• o símbolo ~ significa é modelada por
• à direita indica-se a(s) covariável(eis)

No restante deste texto vamos, por simplicidade, considerar que há apenas uma variável resposta que poderá ser explicada por uma ou mais covariáveis.

Considere, para o conjunto de dados mtcars, ajustar um modelo que explique o rendimento (Y:mpg) pelo peso do veículo (X:wt). O modelo linear é dado por:

Note que a fórmula apenas especifica a relação entre as variáveis resposta e explanatórias e não implica que o modelo seja necessariamente linear. A linearidade é dada pela função lm(). Portanto a mesma fórmula pode ser usada para outros tipos de ajuste como o mostrado na linha tracejada do gráfico resultantes de regressão local polinomial obtida por loess()).

Nem todas as funções que relacionam variáveis aceitam formulas, como por exemplo o caso da regressão por núcleo (kernel) dada por ksmooth() cujo o ajuste é mostrado na linha pontilhada. Outras funções extendem a notação de funções como é o caso do ajuste por modelos aditivos generalizados gam() mostrado na linha sólida grossa, onde o termo s() indica que a variável resposta deve ser descrita por uma função suave da covariável incluída neste termo.

Nos exemplos acima é interessante notar o uso de predict() que é utilizada para predizer o valor da resposta para um conjunto arbitrário de valores da covariável, baseando-se no modelo ajustado. No exemplo utilizamos este recurso para produzir o gráfico com a "curva"do modelo ajustado para uma sequência de valores da covariável. Para a função lm() utilizamos apenas abline() devido ao fato que esta função retorna a equação de uma reta que é interpretada a traçada por um método abline. Entretanto predict() também poderia ser usada e a reta traçada com o comando a seguir. Esta forma é mais flexível para traçar funções (modelos) ajustados que sejam mais complexos que uma equação de uma reta.

23.5 Extensões de modelos com uma covariável

As formulas admitem operadores aritméticos em seus termos. Por exemplo considere a relação entre o rendimento (mgp) e a potência (hp). A linha sólida no gráfico da esquerda da Figura 23.5 sugere que o modelo linear não descreve bem a relação entre estas variáveis, enquanto no gráfico da direita sugere a relação é melhor descrita por um modelo linear entre o rendimento e o logarítmo de potência. Na chamada das funções utilizamos a operação aritmética log() diretamente na fórmula, sem a necessidade de transformar os dados originais.

Uma outra possibilidade para os dados originais é o ajuste de um modelo dado por uma função polinomial, conforme mostrado na linha tracejada no gráfico da esquerda da Figura 23.5 e que é ajustado com os comandos a seguir. Neste ajuste é importante notar que a variável quadrática deve ser especificada com I(hp^2) e o uso de I() é obrigatório para garantir que os valores de hp sejam de fato elevados ao quadrado. O uso de hp^2 possui um significado diferente que veremos na próxima sessão.

Uma outra forma de especificar regressões polinomiais é com o uso de poly(), onde o grau do desejado do polinômio é um argumento desta função conforme ilustrado nos comandos a seguir. No exemplo é importante notar que a interpretação dos parâmetros é diferente devido ao fato de que polinômios ortogonais são utilizados. Entretanto os valores preditos e as estatísticas de ajuste são iguais. O ajuste por polinômios ortogonais é numericamente mais estável e portanto deve ser preferido quando possível. Quando se usa as opções default a função poly() vai sempre contruir polinômios ortogonais. Caso queira-se usar potências usuais deve-se adicionar à chamada desta funções o argumento raw=T.

Vamos considerar agora um outro exemplo de ajuste de modelo linear, agora para o conjunto de dados women que fornece peso (weight) em libras (lbs) e altura (height) em polegadas (in) de 15 mulheres americanas de 30-39 anos. Os comandos a seguir mostram os quatro ajustes indicados na Figura 56. O primeiro (linha fina sólida) é uma regressão linear, o segundo (linha fina tracejada) é uma regressão linear com intercepto igual a zero, isto é, a reta passa pela origem. O terceiro (linha sólida grossa) é uma regressão quadrática e o quarto (linha sólida grossa) é uma regressão quadrática passando pela origem. Neste exemplo fica então ilustrado que a adição do termo + 0 na fórmula faz com que o intercepto do modelo seja nulo e apenas o parâmetro referente ao coeficiente angular da reta seja estimado.

23.6 Especificações mais gerais de modelos

Nos exemplos anteriores a variável resposta era explicada por apenas uma variável explanatória. Isto pode ser expandido considerando-se a presença de duas ou mais variáveis explicativas. A Tabela 23.6 resume as principais operações possíveis para definir modelos com uma ou duas variáveis e que podem ser extendidas para o caso de mais variáveis.

Esta notação é uma implementação das idéias propostas por Wilkinson e Rogers para especificação de modelos estatísticos. (G. N. Wilkinson. C. E. Rogers. Symbolic Description of Factorial Models for Analysis of Variance. Applied Statistics, Vol. 22, No. 3, 392-399. 1973).

Para ilustrar algumas destas opções vamos considerar novamente o conjunto de dados mtcars ajustando modelos para o rendimento (mpg) explicado pelo peso (wt) e potência (hp) do veículo. Nos comandos a seguir mostramos os coeficientes estimados a partir de cinco formas de especificação de modelos.

Os resultados sugerem que as fórmulas definem modelos diferentes, exceto pelos termos wt * hp e (wt * hp)^2 onde o mesmo modelo é especificado de duas formas alternativas. Os modelos ajustados para explicar o rendimento mpg denotado por Y são:

• 1. Y = β₀ + β₁X₁ + ϵ, um modelo com apenas uma covariável onde X₁ é a covariável única com valores dados pela soma dos valores de wt e hp de cada veículo;
• 2. Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ϵ, um modelo com duas covariáveis onde X₁ é a covariável wt e X₂ é a covariável hp.
• 3. Y = β₀ + β₁X₁ + ϵ, um modelo com apenas uma covariável onde X₁ é a covariável única com valores dados pelo produto dos valores de wt e hp de cada veículo;
• 4. e 5. Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + β₃X₃ + ϵ, um modelo com duas covariáveis mais o termo de interação entre elas, onde X₁ é a covariável wt, X₂ é a covariável hp e X₃ é a interação dada pelo produto X₃ = X₁ × X₂.
• 6. Y = β₀ + β₁X₁ + ϵ, um modelo com apenas uma covariável onde X₁ é a covariável única com valores dados pelo quadrado da soma dos valores de wt e hp de cada veículo;

Chama-se atenção ao fato que a notação de "potência" em (wt+hp)^2 não indica uma operação aritmética mas sim a inclusão de todos os efeitos principais e interações até as de ordem indicada pela potência. Para incluir a operação aritmética de potência é necessário utilizar I() no termo a ser exponenciado.

De forma geral, a mensagem é de que os operadores soma (+), produto (*), divisão (/) e potência () têm nas fórmulas o papel de definir numa notação simbólica quais e como os termos devem ser incluídos no modelo. Em fórmulas, tais operadores só indicam operações aritméticas com os termos envolvidos quando utilizados dentro de I(). A função I() garante que a expressão nela contida seja avaliada como uma função aritmética, tal e qual está escrita ("as is").

Na tabela 23.6 são ilustradas mais algumas especificações de modelos. No caso marcado com (*) os modelos são equivalentes porém os coeficientes resultantes são diferentes como comentado sobre polinômios ortogonais na Sessão 23.5.

23.7 Atualizando e modificando fórmulas

Uma vez que um objeto contenha uma fórmula, é possível obter uma nova fórmula que seja uma modificação da original utilizando update.formula().

A lógica da sintaxe é que o primeiro argumento recebe uma fórmula inicial e o segundo indica a modificação. O caracter ponto (⋅) indica tudo. Ou seja, em . ~ . - x2 entende-se: a nova fórmula deverá possuir tudo que estava do lado esquerdo, e tudo do lado direito, excluindo a variável x2.

Este mecanismos é útil para evitar que fórmulas precisem ser totalmente redigitadas a cada redefinição do modelo, o que é útil ao se investigar vários modelos que são obtidos uns a partir de outros. O mecanismo também reduz a chance de erros nas especificações uma vez que garante a igualdade daquilo que é indicado pela notação de ponto (⋅).