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disciplinas:ce003o-2011-01:historico [2011/04/27 17:42]
paulojus
disciplinas:ce003o-2011-01:historico [2012/05/16 10:42] (atual)
paulojus
Linha 5: Linha 5:
 bem como os <fc #​FF0000>​exercícios sugeridos</​fc>​. bem como os <fc #​FF0000>​exercícios sugeridos</​fc>​.
  
-Veja ainda depos da tabela ​as **Atividades Complementares**.+Veja as **Atividades Complementares**abaixo da tabela.
 \\ \\
  
Linha 21: Linha 21:
 ^ Data ^ Conteúdo ^ Leitura ^ Exercícios ^Leitura ^ Exercícios ^Leitura ^ Exercícios ^ Tópico ^ ^ Data ^ Conteúdo ^ Leitura ^ Exercícios ^Leitura ^ Exercícios ^Leitura ^ Exercícios ^ Tópico ^
 | 28/02 |Informações sobre o curso. Introdução e organização à disciplina. Chances e probabilidades. Alguns problemas e paradoxos (o problema do aniversário,​ o teste de diagnóstico,​ o problema das sequências). Demonstração computacional. |Cap 1 | -- |Cap 1 | --- |Cap 1 | --- | --- | | 28/02 |Informações sobre o curso. Introdução e organização à disciplina. Chances e probabilidades. Alguns problemas e paradoxos (o problema do aniversário,​ o teste de diagnóstico,​ o problema das sequências). Demonstração computacional. |Cap 1 | -- |Cap 1 | --- |Cap 1 | --- | --- |
-| 02/03 |Probabilidades:​ definições de probabilidades (clássica, frequentista,​ subjetiva) conceitos: espaço de probabilidades,​ espaço amostral, eventos. Espaços discretos e contínuos. <​m>​sigma</​m>​-álgebra. Definição axiomática de probabilidades. Propriedades. Probabilidade de união, intercecção e condicional. Exemplos. |Cap 5, Sec 5.1 e 5.2 |Cap 5: 1 a 14 |Cap 2, Sec 2.1 |Cap 2: Sec 2.1: 1 a 5, Sec 2.3: 1 a 7 |Cap 4, Sec 4.1 e 4.2 |Cap 4: 1 a 7 |[[http://​onlinestatbook.com/​chapter5/​probability.html|Online Statistics (Itens A, B, C, D, E)]] |+| 02/03 |Probabilidades:​ definições de probabilidades (clássica, frequentista,​ subjetiva) conceitos: espaço de probabilidades,​ espaço amostral, eventos. Espaços discretos e contínuos. <​m>​sigma</​m>​álgebra. Definição axiomática de probabilidades. Propriedades. Probabilidade de união, intercecção e condicional. Exemplos. |Cap 5, Sec 5.1 e 5.2 |Cap 5: 1 a 14 |Cap 2, Sec 2.1 |Cap 2: Sec 2.1: 1 a 5, Sec 2.3: 1 a 7 |Cap 4, Sec 4.1 e 4.2 |Cap 4: 1 a 7 |[[http://​onlinestatbook.com/​chapter5/​probability.html|Online Statistics (Itens A, B, C, D, E)]] |
 | 14/03 |Probabilidades (cont): probabilidades marginais, conjuntas e condicionais. Probabilidade total e Teorema de Bayes. Probabilidade condicional e independência |Cap 5 |Cap 5: 15 a 25 |Cap 2 |Cap 2: Sec 2.2: 4 a 7, Sec 2.3: 8 a 15|Cap 4 |Cap 4: 8 a 21 | [[http://​onlinestatbook.com/​chapter5/​probability.html|Online Statistics (Itens H, I, J, K)]] |  ​ | 14/03 |Probabilidades (cont): probabilidades marginais, conjuntas e condicionais. Probabilidade total e Teorema de Bayes. Probabilidade condicional e independência |Cap 5 |Cap 5: 15 a 25 |Cap 2 |Cap 2: Sec 2.2: 4 a 7, Sec 2.3: 8 a 15|Cap 4 |Cap 4: 8 a 21 | [[http://​onlinestatbook.com/​chapter5/​probability.html|Online Statistics (Itens H, I, J, K)]] |  ​
 | 16/03 |Probabilidades:​ Exemplos adicionais. Variáveis Aleatórias - introdução,​ definição. Distribuição de Probabilidades. Função de (massa de) probabilidade. Distribuição Binomial. Distribuição Hipergeométrica |Cap 6, Sec 6.1, 6.2, 6.6.3, 6.6.4 |Cap 6: 1 a 6, 20, 22 |Cap 3, Sec 3.1 e 3.2 |Cap 3: Sec 3.1: 1 a 6, Sec 3.2: 1 a 7 | | | [[http://​onlinestatbook.com/​chapter5/​probability.html|Online Statistics (Itens E, F e M)]] |  | 16/03 |Probabilidades:​ Exemplos adicionais. Variáveis Aleatórias - introdução,​ definição. Distribuição de Probabilidades. Função de (massa de) probabilidade. Distribuição Binomial. Distribuição Hipergeométrica |Cap 6, Sec 6.1, 6.2, 6.6.3, 6.6.4 |Cap 6: 1 a 6, 20, 22 |Cap 3, Sec 3.1 e 3.2 |Cap 3: Sec 3.1: 1 a 6, Sec 3.2: 1 a 7 | | | [[http://​onlinestatbook.com/​chapter5/​probability.html|Online Statistics (Itens E, F e M)]] | 
Linha 34: Linha 34:
 | 18/04 |Funções da variáveis aleatórias. Variáveis bi(multidimensionais) |Cap 7, Sec 7.6, Cap 8 |Cap 7: 25 a 27, 39, Cap 8: 1, 2, 3, 6, 7, 18, 19, 20 |Cap 5 |Cap 5: Sec 5.1: 2 a 5 Sec 5.2: 2, 3, 5 e 6 | | | | | 18/04 |Funções da variáveis aleatórias. Variáveis bi(multidimensionais) |Cap 7, Sec 7.6, Cap 8 |Cap 7: 25 a 27, 39, Cap 8: 1, 2, 3, 6, 7, 18, 19, 20 |Cap 5 |Cap 5: Sec 5.1: 2 a 5 Sec 5.2: 2, 3, 5 e 6 | | | |
 | 20/04 |Prova 1 | | | | | | | | 20/04 |Prova 1 | | | | | | |
-| 25/04 |Noções de processos estocáticos:​ exemplos e definição,​ tempos e estados (discretos e contínuos),​ modelo probabilístico. Processos de tempo e estados discretos: Cadeia de Markov. Cadeias Finitas, probabilidades de transição,​ estacionaridade. Matrizes de transição e matrizes estocásticas,​ transição em M passos, vetor inicial, probabilidades marginais e estados absorventes. ​ |-- |-- |-- |-- |-- |-- |**ver abaixo** | +| 25/04 |Noções de processos estocáticos:​ exemplos e definição,​ tempos e estados (discretos e contínuos),​ modelo probabilístico. Processos de tempo e estados discretos: Cadeia de Markov. Cadeias Finitas, probabilidades de transição,​ estacionaridade. Matrizes de transição e matrizes estocásticas,​ transição em M passos, vetor inicial, probabilidades marginais e estados absorventes. ​ |ver sessão de complementos desta página ​|-- |-- |-- |-- |-- |**ver abaixo** | 
-| 27/04 |Prova 1 | | | | | | | +| 27/04 |Estatística descritiva. Fontes de dados: estudos experimentais e observacionais. Tipos de variáveis: quantitativas (nominais e ordinais) e qualitativas ​ (discretas e contínuas). Análises uni e bivariadas. Tabelas, gráficos e medidas adequadas para cada tipo de variáveis. Visualização de múltiplas variáveis. Tabelas: dados categóricos e agrupados. Frequencias easolutas e relativas. Gráficos: setores, barras, histograma, box-plot, de densidade (empírica). Medidas: moda, mediana média, quartis, variância e amplitude |Cap 2, 3 e 4 |ver materiais online e sessão de complementos desta página |Cap 1, 4 e 5 |ver materiais online  ​| | |[[http://​leg.ufpr.br/​~paulojus/​embrapa/​Rembrapa/​Rembrapase9.html#​x11-570009|Material online com exemplos de análise de dados]] ​| 
 +| 02/05 |Estatística descritiva univariada: tipos de variáveis: qualitativas (nominais e ordinais) e quantitativas (discretas e contínuas). Gráficos. (histograma,​ pol. frequências,​ densidade empírica, ramo-e-folhas,​ box-plot |Cap 2, 3, Sec 3.4 (box-plot) |Cap 2: 4 a 7, 11, 12, 15; Cap 3: 11, 12, 13 |Cap 1 |Cap 1, Sec 1.2: 4, 5, Sec 1.4: 3, 4, 5, 6, 12,15, 20, 21, 22  | | |Ver complementos abaixo!!! ​
 +| 04/05 |Estatística descritiva: medidas resumo. Medidas de posição, variabilidade e associação |Cap 3 e 4 |Cap 3: |Cap 4 e 5 | | | |**Ver complementos abaixo!!!** | 
 +| 11/05 |Inferência estatística:​ população e amostra, amostragem e amostra aleatória simples, estatística e parâmetros,​ estimadores e estimativas. Distribuições amostrais. Distribuição amostral da média e proporção |Cap 10 |Cap 10:  1, 3, 7 a 10, 11 a 13 |Cap 7  |Cap 7, Sec 7.1: 1, 2; Sec 7.3: 1 a 7, Cap 7.4: 1 a 5 | | | | 
 +| 16-18/​05 ​ | PF-15 |Inferência estatística (revisão e continuação). Dsicussão da 1a prova |Cap 10 |Cap 10:  4, 14, 17 a 20, 21 a 28 |Cap 7  |Cap 7, Sec 7.5: 1, 3, 6, 9, 14, 17, 20 | | | | 
 +| 23/05 |Inferência estatística:​ propriedades dos estimadores (não tendenciosidade,​ consistência,​ eficiência),​ intervalo de confiança e tamanho da amostra |Cap 10 |Cap 10:  |Cap 7  |Cap 7, Sec 7.5: 1 a 5, 21 a 29 | | | | 
 +| 25/05 |2a prova | --- | --- | ---  | --- | | | | 
 +| 30/05 |Discussão da 2a prova. Métodos de Estimação:​ método de mínimos quadrados, dos momentos e da máxima verossimilhança | Cap 11, 11.3, 11.4 e 11.5 |Cap 11: 6 a 13 |Ver B&​M ​ |Ver B&M | | | | 
 +| 01/06 |Inferẽncia:​ revisão e exercícios:​ intervalos de confiança, tamanho de amostra, estimadores e estimativas de máxima verossimilhança ​ | | | | --- | | | | 
 +| 06/06 |Inferência:​ intervalos de confiança para variância, Outros intervalos: diferenças de médias, proporções e quociente de 2 variâncias. Introdução a teste de hipóteses: conceitos introdutórios,​ passos de um teste de hipóteses, ex com teste de hipótese de uma média ​ |Cap 12 |Cap 12: 3, 5, 6 a 13, 22 a 24 |Cap 8 |Cap 8: Sec 8.1: 1 a 5, Sec 8.2: 1 a 3 | | |[[http://​onlinestatbook.com/​2/​logic_of_hypothesis_testing/​logic_hypothesis.html|Material online]] | 
 +| 08/06 |Teste de hipóteses: revisão, exemplos e diferentes tipos de testes. Erros tipo I e II. Região crítica, valor-P ​ |Cap 12 |Cap 12: 1, 2, 4, 14, 15, 16 a 20  |Cap 8 |Cap 8: Sec 8.1: 1 a 5, Sec 8.2: 1 a 3 | | |[[http://​onlinestatbook.com/​2/​logic_of_hypothesis_testing/​logic_hypothesis.html|Material online]] | 
 +| 13/06 |Teste de hipóteses: revisão, exemplos/​exercícios e diferentes tipos de testes. |Cap 12 e 13 |Cap 12: 21 a 24, 25 a 40; Cap 13: 1 a 3, 5 a 9, 16, 19 |Cap 8 |Cap 8: Sec 8.3: 1 a 6, Sec 8.4: 1 a 4 | | | | 
 +| 15/06 |Teste de hipóteses: revisão, exemplos/​exercícios. Testes <​m>​chi^2</​m>​ aderência e independência |Cap 14 |Cap 14: 3, 5 a 9, 13, 14  |Cap 8, Sec 8.5 |Cap 8: Sec 8.8: 1 a 7 | | | |
  
 \\ \\
Linha 113: Linha 124:
     - Verifique como obter os quartis da distribuição ​             - Verifique como obter os quartis da distribuição ​        
   - Verificar as expressões das distribuições <​m>​t</​m>,​ <​m>​chi^2</​m>​ e <​m>​F</​m>​ (ver sessão 7.7 em Bussab e Morettin) e como obter probabilidades q quantis utilizando as tabelas. \\   - Verificar as expressões das distribuições <​m>​t</​m>,​ <​m>​chi^2</​m>​ e <​m>​F</​m>​ (ver sessão 7.7 em Bussab e Morettin) e como obter probabilidades q quantis utilizando as tabelas. \\
-  - Seja <​m>​X</​m>​ uma variável aleatória com distribuição <​m>​t_(8)</​m>​ (<​m>​t</​m>​-Student com <​m>​\nu=8</​m>​ graus de liberdade). Obtenha usando a tabela da distribuição:​+  - Seja <​m>​X</​m>​ uma variável aleatória com distribuição <​m>​t_(8)</​m>​ (<​m>​t</​m>​Student com <​m>​\nu=8</​m>​ graus de liberdade). Obtenha usando a tabela da distribuição:​
     - <​m>​P[X > 1.5]</​m>​     - <​m>​P[X > 1.5]</​m>​
     - <​m>​P[-2 <  X < 2]</​m>​     - <​m>​P[-2 <  X < 2]</​m>​
Linha 144: Linha 155:
 ==== 25/04/2011 ==== ==== 25/04/2011 ====
 === Parte 1 === === Parte 1 ===
-  - Considere a matriz de transição do exemplo 2 da aula. Escreva um programa para simular realizações desta cadeia (mostre ​resulçtados ​em um gráfico).\\ <​latex>​+  - Considere a matriz de transição do exemplo 2 da aula. Escreva um programa para simular realizações desta cadeia (mostre ​resultados ​em um gráfico).\\ <​latex>​
 P = \left[\begin{array}{cc} 1/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 \end{array}\right] P = \left[\begin{array}{cc} 1/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 \end{array}\right]
 </​latex>​ </​latex>​
Linha 150: Linha 161:
 P = \left[\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right] P = \left[\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right]
 </​latex>​ </​latex>​
-  - Idem anterior com \\<​latex>​+  - Idem anterior com \\ <​latex>​
 P=\left[\begin{array}{cc} p_1 & 1-p_1 \\ 1-p_2 & p_2 \end{array}\right] P=\left[\begin{array}{cc} p_1 & 1-p_1 \\ 1-p_2 & p_2 \end{array}\right]
 </​latex>​ </​latex>​
Linha 158: Linha 169:
  
 === Parte 2 === === Parte 2 ===
-  - Estude o comportamento da cadeia definida pelo exemplo 1 visto em aula. +  - Estude o comportamento da cadeia definida pelo exemplo 1 visto em aula. \\ <​latex>​ 
-  - Modificar a matriz P dada colocando na ultima linha: ''​(0 0 0 0 0 1)''​. ​Estudo ​o comportamento da cadeia. +P=\left[\begin{array}{cccccc}  
 +0,1 & 0,4 & 0,2 & 0,1 & 0,1 & 0,1 \\ 
 +0,2 & 0,3 & 0,2 & 0,1 & 0,1 & 0,1 \\ 
 +0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,2 & 0,1 & 0,1 \\ 
 +0,1 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,2 & 0,1 \\ 
 +0,1 & 0,1 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,2 \\ 
 +0,1 & 0,1 & 0,1 & 0,1 & 0,4 & 0,2 \\ 
 + ​\end{array}\right] 
 +</​latex>​ 
 +  - Modificar a matriz P dada colocando na ultima linha: ''​(0 0 0 0 0 1)''​. ​Estude ​o comportamento da cadeia. 
 +  - Estude o comportamento da cadeia com matriz de probabilidade de transição dada por\\ <​latex>​ 
 +P=\left[\begin{array}{ccccc}  
 +0,5 & 0,3 & 0,2 & 0,0 & 0,0  \\ 
 +0,2 & 0,3 & 0,3 & 0,2 & 0,0  \\ 
 +0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,2 & 0,2  \\ 
 +0,0 & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4  \\ 
 +0,0 & 0,0 & 0,0 & 0,0 & 1,0  \\ 
 + ​\end{array}\right] 
 +</​latex>​
 === Parte 3 === === Parte 3 ===
   - Monte a matriz de transição ''​P''​ e estude as características da cadeia para o exemplo genético onde os pais tem genótipos ''​AA'',​ ''​Aa''​ ou ''​aa''​. Analise e inspecione (tb por simulação) o comportamento para diferentes valores iniciais.   - Monte a matriz de transição ''​P''​ e estude as características da cadeia para o exemplo genético onde os pais tem genótipos ''​AA'',​ ''​Aa''​ ou ''​aa''​. Analise e inspecione (tb por simulação) o comportamento para diferentes valores iniciais.
 +
 +
 +==== 27/04/2011 ====
 +  - Ver Sessões 9, 10 e 11 [[http://​leg.ufpr.br/​~paulojus/​embrapa/​Rembrapa/​|neste material online]]
 +  - Exemplos mostrados/​usados e discutidos em aula (com comandos do R)
 +    - Exemplo **''​CO2''​**<​code R>
 +data(CO2)
 +str(CO2)
 +head(CO2)
 +?CO2
 +names(CO2)
 +
 +## acessando os dados
 +mean(CO2$uptake)
 +with(CO2, mean(uptake))
 +
 +## resumos de uma variável
 +attach(CO2)
 +mean(uptake)
 +summary(uptake)
 +
 +## gráficos
 +boxplot(uptake)
 +
 +## relacionando uptake com outra variável (categórica)
 +boxplot(uptake ~ Treatment)
 +
 +tapply(uptake,​ Treatment, mean)
 +tapply(uptake,​ Treatment, summary)
 +
 +## relacionando uptake com outras 2 variáveis (categóricas)
 +tapply(uptake,​ list(Type, Treatment), mean)
 +interaction.plot(Type , Treatment, uptake, type="​b"​)
 +interaction.plot(Type , Treatment, uptake, fun=median, type="​b"​)
 +
 +## mais visualizações,​ relacionando com outra variável numérica
 +plot(uptake ~ conc)
 +m1 <- tapply(uptake,​ conc, mean)
 +points(as.numeric(names(m1)),​ m1, col=2, pch=19)
 +by(CO2, Plant, function(x) with(x, lines(uptake ~ conc, col=gray))) ​
 +
 +coplot(uptake ~ conc|Plant)
 +coplot(uptake ~ conc|Plant,​show.given=FALSE)
 +coplot(uptake ~ conc|Plant, panel=lines,​ type="​b",​show.given=FALSE)
 +coplot(uptake ~ conc|Plant, panel=panel.smooth,​show.given=FALSE)
 +
 +require(lattice)
 +xyplot(uptake ~ conc|Plant)
 +
 +detach(CO2)
 +</​code>​
 +    - Dados **''​mtcars''​**<​code R>
 +## obtendo informações sobre os dados (metadados)
 +data(mtcars)
 +str(mtcars)
 +head(mtcars)
 +dim(mtcars)
 +
 +attach(mtcars)
 +
 +## analises de uma variável quantitativa
 +summary(mpg)
 +boxplot(mpg)
 +
 +hist(mpg)
 +rug(mpg)
 +
 +hist(mpg, prob=T)
 +rug(mpg)
 +lines(density(mpg))
 +
 +h1 <- hist(mpg, prob=T)
 +h1[1:2]
 +table(cut(mpg,​ br=seq(10, 35, by=5)))
 +
 +## um gráfico **totalmente inadequado** !!!
 +pie(table(cut(mpg,​ br=seq(10, 35, by=5))))
 +
 +## análises de uma variável qualitativa (nominal)
 +table(am)
 +prop.table(table(am))
 +pie(table(am))
 +which.max(table(am))
 +
 +## analises de uma variável qualitativa (ordinal)
 +table(cyl)
 +prop.table(table(cyl))
 +barplot(table(cyl))
 +which.max(table(cyl))
 +
 +## "​cruzando"​ variáveis qualitativas
 +table(cyl, am)
 +
 +plot(table(cyl,​ am))
 +
 +barplot(table(cyl,​ am))
 +barplot(table(cyl,​ am), beside=T)
 +
 +prop.table(table(cyl,​ am))
 +prop.table(table(cyl,​ am), mar=1)
 +prop.table(table(cyl,​ am), mar=2)
 +#
 +## tabela
 +table(am)
 +## grafico
 +pie(table(am),​ main="​Câmbio",​ lab=c("​automático"​ , "​manual"​))
 +pie(table(am),​ main="​Câmbio",​ lab=c("​automático"​ , "​manual"​)) , col=1:2, rad=1)
 +## medida (moda)
 +am.t <- table(am)
 +names(am.t) <- c("​automático","​manual"​)
 +names(which.max(am.t))
 +
 +## em porcentagens
 +prop.table(table(am))
 +
 +## agora para numero de marchas
 +table(gear)
 +barplot(prop.table(table(gear)))
 +names(which.max(table(gear)))
 +
 +## e agora relacionando as duas variáveis
 +table(am, gear)
 +plot(table(am,​ gear), main="​Marchas vs Câmbio"​)
 +barplot(table(am,​ gear), legend=T)
 +barplot(table(gear,​ am), legend=T)
 +
 +prop.table(table(am,​ gear), mar=1)
 +barplot(prop.table(table(am,​ gear), mar=1))
 +
 +## relacionando qualitativa e quantitativa
 +tapply(mpg, am, mean)
 +tapply(mpg, am, sd)
 +tapply(mpg, am, summary)
 +
 +tapply(mpg, am, function(x) table(cut(x,​ br=seq(10, 30, by=5))))
 +
 +boxplot(mpg ~ am)
 +
 +plot(am, mpg)
 +boxplot(mpg ~ am)
 +
 +## relacionando variáveis quantitativas
 +plot(mpg ~ qsec)
 +lines(lowess(mpg ~ qsec))
 +cor(mpg, qsec)
 +
 +plot(mpg ~ wt)
 +lines(lowess(mpg ~ wt))
 +cor(mpg, wt)
 +cor(mpg, wt, meth="​sp"​)
 +
 +plot(qsec ~ wt)
 +lines(lowess(qsec ~ wt))
 +cor(qsec, wt)
 +cor(qsec, wt, meth="​sp"​)
 +
 +plot(mtcars[,​c(1,​4,​6,​7)])
 +pairs(mtcars[,​c(1,​4,​6,​7)],​ panel=panel.smooth) ​
 +cor(mtcars[,​c(1,​4,​6,​7)])
 +cor(mtcars[,​c(1,​4,​6,​7)],​ meth="​sp"​)
 +
 +detach(mtcars)
 +</​code>​
 +
 +==== 02/05/2011 ====
 +  * [[http://​www.ted.com/​talks/​hans_rosling_shows_the_best_stats_you_ve_ever_seen.html|Hans Rosling]] no TED Talks - como os dados podem nos ajudar a compreender e destruir mitos sobre a realidade. Procure identificar ao menos cinco pontos importantes na apresentação para discussão
 +
 +==== 04/05/2011 ====
 +<fs medium>​**Tópicos:​**</​fs>​
 +  * Análise univariada
 +    * Medidas de posição: média, mediana, moda, média aparada, quantis
 +    * Medidas de dispersão: amplitude, variância, desvio padrão, desvio médio, amplitude interquartílica,​ coeficiente de variação
 +    * Cálculo das medidas para dados brutos e dados agrupados
 +  * Análise bivariada
 +    * medidas de associação:​ variáveis qualitativas e quantitativas
 +    * <​m>​chi^2</​m>,​ coeficiente de contingência,​ comparação de medidas resumo, covariâncas e coeficientes de correlação
 +
 +<fs medium>​**Referências adicionais e vídeos:​**</​fs>​
 +  * [[http://​www.khanacademy.org/?​video=statistics--the-average#​statistics|Vídeos sobre estatística da Khan Academy]]. Vídeos relacionados com esta parte do curso (estatística descritiva)
 +    * Statistics: The Average
 +    * Statistics: Sample vs. Population Mean
 +    * Statistics: Variance of a Population
 +    * Statistics: Sample Variance
 +    * Statistics: Standard Deviation
 +    * Statistics: Alternate Variance Formulas
 +  * [[http://​onlinestatbook.com/​2/​index.html|Online Statistics]]
 +    * [[http://​onlinestatbook.com/​2/​graphing_distributions/​graphing_distributions.html|Gráficos]]
 +    * [[http://​onlinestatbook.com/​2/​summarizing_distributions/​summarizing_distributions.html|Resumos]]
 +    * [[http://​onlinestatbook.com/​2/​describing_bivariate_data/​bivariate.html|Bivariado]]
 +
  

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