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Diferenças

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disciplinas:ce701:semana1:teoricas [2007/02/11 22:57] (atual)
joel criada
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 +===== Conceitos Básicos em Estatística ======
  
 +==== O que é Estatística?​ ====
 +
 +A Estatística é um conjunto de métodos desenvolvidos com a finalidade de auxiliar a responder, de forma objetiva e segura, problemas que envolvem uma grande quantidade de informações. ​
 +
 +No dicionário Aurélio, encontra-se como a primeira definição para Estatística:​
 +
 + //[Do fr. statistique.] S. f. 1. Parte da matemática em que se investigam os
 + ​processos de obtenção, organização e análise de dados sobre uma população ​
 +ou sobre uma coleção de seres quaisquer, e os métodos de tirar conclusões e
 + fazer ilações ou predições com base nesses dados.//
 +
 +A //​quantificação//​ de toda espécie de informações tem aumentado nas últimas décadas e é parte do nosso cotidiano desde a popularização dos computadores. No passado, tratar uma grande massa de números era uma tarefa custosa e cansativa, que exigia horas de trabalho tedioso. Recentemente,​ grande quantidade de informações pode ser analisada rapidamente com um computador pessoal e programas adequados. Desta forma, o computador contribui positivamente na difusão e uso de métodos estatísticos. Por outro lado, este possibilita uma automação que pode levar um indivíduo sem preparo a utilizar técnicas inadequadas para resolver um dado problema. Assim, é necessário a compreensão dos conceitos básicos da Estatística,​ bem como as suposições necessárias para o seu uso de forma criteriosa. ​
 +
 +__Estatística é um conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática,​ organizar, descrever, analisar e interpretar //dados// oriundos de estudos ou experimentos.__
 +
 +A grosso modo podemos dividir a Estatística em três áreas:
 +  * **Estatística descritiva:​** conjunto de técnicas destinadas a descrever e resumir dados. {{disciplinas:​ce067:​semana2:​rte0104.pdf|Reis & Reis (2001)}}
 +  * **Probabilidade:​** teoria matemática utilizada para se estudar a //​incerteza//​ oriunda de fenômenos de caráter //​aleatório//​.
 +  * **Inferência estatística:​** técnicas que possibilitam a extrapolação,​ a um grande conjunto de dados (//​população//​),​ dos resultados obtidos a partir de um subconjunto de valores (//​amostra//​). ​
 +
 +Estudos complexos que envolvem o tratamento estatístico dos dados, usualmente, incluem as três áreas acima.
 +
 +----
 +
 +==== Variação amostral ====
 +
 +Como dito, a Estatística refere-se a um conjunto de métodos para coleta e descrição dos dados, e então a verificação da força da evidência nos dados pró ou contra certas idéias científicas. A presença de uma //​variação//​ não previsível nos dados faz disso uma tarefa pouco trivial. ​
 +
 +Um exemplo em que a variação está presente nos dados:
 +
 +Função pulmonar em pacientes com fibrose cística: A pressão inspiratória estática máxima (PImax) é um índice de vigor respiratório muscular. Os seguintes dados mostram a idade (anos) e uma medida de PImax (cm H$_2$O) de 25 pacientes com fibrose cística.
 +
 +| Sujeito | Idade | PImax |
 +| 1 | 7 | 80 | 
 +| 2 | 7 | 85 | 
 +| 3 | 8 | 110 | 
 +| 4 | 8 | 95 | 
 +| 5 | 8 | 95 | 
 +| 6 | 9 | 100 | 
 +| 7 | 11 | 45 | 
 +| 8 | 12 | 95 | 
 +| 9 | 12 | 130 | 
 +| 10 | 13 | 75 | 
 +| 11 | 13 | 80 | 
 +| 12 | 14 | 70 | 
 +| 13 | 14 | 80 | 
 +| 14 | 15 | 100 | 
 +| 15 | 16 | 120 | 
 +| 16 | 17 | 110 | 
 +| 17 | 17 | 125 | 
 +| 18 | 17 | 75 | 
 +| 19 | 17 | 100 | 
 +| 20 | 19 | 40 | 
 +| 21 | 19 | 75 | 
 +| 22 | 20 | 110 | 
 +| 23 | 23 | 150 | 
 +| 24 | 23 | 75 | 
 +| 25 | 23 | 95 | 
 +
 +    - Todos os pacientes com fibrose cística tem o mesmo valor de PImax? ​
 +    - Assumindo que a idade não afeta PImax, qual é um valor de PImax típico para pacientes com fibrose cística?
 +     - Quão grande é a variabilidade em torno deste valor típico?
 +     - Será que a suposição de que idade não afeta PImax é consistente com os dados?
 +     - Se idade na verdade afeta PImax, como você descreveria o valor típico de PImax e variabilidade?​
 +     - Que tipo de representação gráfica poderia ser utilizada para visualizar adequadamente estes dados?
 +
 +----
 +
 +==== Organização de dados ====
 +
 +Dado um conjunto de dados, como tratar os valores numéricos ou não, a fim de se extrair informações a respeito de uma ou mais características de interesse? Fazendo uso de tabelas e gráficos.
 +
 +=== Exemplo ===
 +Um questionário foi aplicado aos alunos do primeiro ano de uma escola fornecendo as seguintes informações:​
 +
 +  * id: identificação do aluno
 +  * turma: turma a que o aluno foi alocado (A ou B)
 +  * sexo: F se feminino, M se masculino
 +  * idade: idade em anos
 +  * alt: altura em metros
 +  * peso: peso em quilogramas
 +  * filhos: número de filhos na família
 +  * fuma: hábito de fumar, sim ou não
 +  * toler: tolerância ao cigarro: (I) indiferente,​ (P) incomoda pouco, (M) incomoda muito
 +  * exerc: horas de atividade física, por semana
 +  * cine: número de vezes em que vaiao cinema por semana
 +  * opcine: opinão a respeito das salas de cinema na cidade: (B) regular e boa, (M) muito boa
 +  * tv: horas gastas assistindo tv, por semana
 +  * optv: opinião a respeito da qualidade da programação na tv: (R) ruim, (M) média, (B) boa, (N) não sabe
 +
 +
 +{{disciplinas:​ce067:​semana2:​questionario.txt|Tabela 1.1: Informações de questionário estudantil - dados brutos}}
 +
 +Note que:
 +
 +  * A tabela de dados brutos é composta por linhas (indivíduos ou objetos) e colunas (//​variáveis//​). ​
 +  * As variáveis têm naturezas diferentes: numéricas (//​quantitativas//​) e não numéricas (//​qualitativas//​).
 +  * Variáveis qualitativas podem ter: ordenação natural (//​qualitativa ordinal//) ou não (//​qualitativa nominal//)
 +  * Variáveis quantitativas podem assumir: conjunto de valores é finito ou enumerável (//​quantitativa discreta//) ou valores em intervalos dos números reais (//​quantitativa contínua//​)
 +
 +
 +Resumimos a classificação das variáveis no esquema abaixo:
 + 
 +{{ disciplinas:​ce067:​semana2:​variaveis.jpg |}}
 +
 +----
 +
 +=== Tabelas de frequências ===
 +
 +A partir da tabela de dados brutos, podemos construir uma (//tabela de frequências//​) com informações resumidas para cada variável.
 +
 +//**Tabela 1.2: Tabela de frequências para a variável Sexo**//
 +| Sexo | n<​sub>​i</​sub>​ | f<​sub>​i</​sub>​ |
 +| F | 37 | 0,74 |
 +| M | 13 | 0,26 |
 +| total | n=50 | 1|
 +
 +  * n<​sub>​i</​sub>:​ frequência do valor i
 +  * n: frequência total
 +  * f<​sub>​i</​sub>​=n<​sub>​i</​sub>/​n:​ frequência relativa (útil quando comparando grupos de tamanhos diferentes)
 +
 +
 +Para variáveis cujos valores possuem ordenação natural faz sentido incluirmos também uma coluna contendo //​frequências acumuladas//​ f<​sub>​ac</​sub>​. Sua utilidade principal é ajudar a estabelecer pontos de corte com uma determinada frequência de valores da variável.
 +
 +//**Tabela 1.3: Tabela de frequências para a variável Idade**//
 +| Idade | n<​sub>​i</​sub>​ | f<​sub>​i</​sub>​ | f<​sub>​ac</​sub>​ |
 +| 17 | 9 | 0,18 | 0,18 |
 +| 18 | 22 | 0,44 | 0,62 |
 +| 19 | 7 | 0,14 | 0,76 |
 +| 20 | 4 | 0,08 | 0,84 |
 +| 21 | 3 | 0,06 | 0,90 |
 +| 22 | 0 | 0 | 0,90 |
 +| 23 | 2 | 0,04 | 0,94 |
 +| 24 | 1 | 0,02 | 0,96 |
 +| 25 | 2 | 0,04 | 1,00 |
 +| total | n=50 | 1 | |
 +
 +Observe que 90% dos alunos têm idades até 21 anos, de fato até 22, uma vez que este valor tem frequência zero.
 +
 +
 +Com relação à variável Peso (classificado como quantitativa contínua) podemos construir //classes// ou //faixas de valores// e contar o número de ocorrências em cada faixa (aqui usamos faixas de amplitude 10).
 +
 +//**Tabela 1.4: Tabela de frequências para a variável Peso**//
 +| Peso | n<​sub>​i</​sub>​ | f<​sub>​i</​sub>​ | f<​sub>​ac</​sub>​ |
 +| 40,0 ¦− 50,0 | 8 | 0,16 | 0,16 |
 +| 50,0 ¦− 60,0 | 22 | 0,44 | 0,60 |
 +| 60,0 ¦− 70,0 | 8 | 0,16 | 0,76 |
 +| 70,0 ¦− 80,0 | 6 | 0,12 | 0,88 |
 +|80,0 ¦− 90,0 | 5 | 0,10 | 0,98 |
 +|90,0 ¦− 100,0 | 1 | 0,02 | 1,00|
 +| total | 50 | 1 | |
 +
 +  * Escolhemos incluir o extremo inferior e excluir o superior. Ex: a faixa 40,0 ¦− 50,0 não inclui os alunos com peso igual a 50,0 kg.
 +  * Não adotamos nenhuma regra formal quanto ao número de faixas mas utlizamos em geral, de 5 a 8 faixas com mesma amplitude.
 +
 +
 +Quando a variável é discreta, mas com conjunto de valores muito grande (ex. variável TV) o caminho adequado é tratar a variável como se fosse contínua e criar faixas para representar seus valores.
 +
 +
 +//**Tabela 1.5: Tabela de frequências para a variável TV**//
 +| TV | n<​sub>​i</​sub>​ | f<​sub>​i</​sub>​ | f<​sub>​ac</​sub>​ |
 +| 0 ¦− 6 | 14 | 0,28 | 0,28 |
 +| 6 ¦− 12 | 17 | 0,34 | 0,62 |
 +| 12 ¦− 18 | 11 | 0,22 | 0,84 |
 +| 18 ¦− 24 | 4 | 0,08 | 0,92 |
 +| 24 ¦−¦ 36 | 4 | 0,08 | 1,00 |
 +| total | 50 | 1 | |
 +
 +----
 +
 +=== Gráficos ===
 +
 +Muitas vezes as informações contidas em tabelas podem ser mais facilmente entendidas se visualizadas através de gráficos. Graças à proliferação recursos gráficos, existe hoje uma infinidade de tipos de gráficos que podem ser utilizados (veja Figura 1.3, pág 12).
 +
 +Note no entanto que a utilização de recursos visuais deve ser feita cuidadosamente;​ um gráfico desproporcional em suas medidas pode dar falsa impressão de desempenho e conduzir a conclusões equivocadas ({{disciplinas:​ce067:​semana2:​rte0104.pdf|Reis & Reis (2001)}}, exemplo da pág 23). 
 +
 +Vamos definir três tipos básicos de gráficos: //setores// ou //pizza//, //barras// e //​histograma//​.
 +
 +== Gráfico de setores == 
 +
 +Adequado para representar variáveis qualitativas. Consiste em repartir um disco em setores circulares correspondentes às porcentagens de cada valor. ​
 +
 +A Figura 1.4 abaixo apresenta o diagrama de disco para a variável Toler, obtida a partir da Tabela 1.1.
 +
 +{{ disciplinas:​ce067:​semana2:​fig1.4.jpg?​340 |Figura 1.4: Diagrama circular para a variável Toler.}}
 +
 +== Gráfico de barras == 
 +
 +Mais adequado para variáveis discretas ou qualitativas ordinais. ​
 +Utiliza o plano cartesiano com os valores da variável no eixo das abscissas e as frequências no eixo das ordenadas. Para cada valor da variável desenha-se uma barra com altura correspondendo à sua frequência.
 +
 +{{ disciplinas:​ce067:​semana2:​fig1.5.jpg?​420 |Figura 1.5: Gráfico de barras para a variável Idade.}}
 +
 +== Histograma == 
 +
 +Consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da variável e com área igual à frequência relativa da faixa. A altura de cada retângulo é denominada //densidade de frequência//​ ou simplesmente //​densidade//​ definida pelo quociente da frequência relativa pela amplitude da faixa.
 +
 +Para a variável Peso, as densidades de cada faixa podem ser obtidas dividindo-se a a coluna f<​sub>​i</​sub>​ da Tabela 1.4  por 10, que é a amplitude de cada faixa. Veja o histograma obtido na Figura 1.6.
 +
 +{{ disciplinas:​ce067:​semana2:​fig1.6.jpg?​420 |Figura 1.6: Histograma para a variável Peso.}}
 +
 +**Nota:** Alguns autores usam a frequência absoluta ou porcentagem na construção do histograma. O uso da densidade impede que o histograma fique distorcido quando as faixas têm amplitudes diferentes.
 +
 +----
 +
 +=== Quartis ===
 +
 +O histograma também pode ser utilizado no cálculo da //mediana// (//​md<​sub>​obs</​sub>//​),​ que é o valor da variável que divide o conjunto de dados ordenados em dois subgrupos de mesmo tamanho. Isto é, das observações ordenadas, 50% estão abaixo e 50% estão acima da mediana.
 +
 +**//Exemplo 1.1://** Vamos calcular a mediana da variável Peso através do histograma.
 +
 +  * Inicialmente identificamos o retângulo que deve conter a mediana. Como até o valor 60,0 kg temos acumuladas 60% das observações conluímos que a mediana pertence ao intervalo [50,0; 60,0).
 +  * Dentro da faixa [50,0; 60,0) precisamos determinar um retângulo com percentual igual a 34%, que é o que falta para atingir os 50%.
 +  * Com uso de proporções,​ estabelecemos a seguinte igualdade: ​
 +
 +<​latex>​\[\frac{md_{obs}-50}{0,​34}=\frac{60-50}{0,​44} ~~\Rightarrow ~~ md_{obs}=57,​73 kg\]</​latex>​
 +
 +{{ disciplinas:​ce067:​semana2:​figmed.jpg?​420 |Cálculo da mediana usando o histograma para a variável Peso.}}
 +
 +
 +O conceito de mediana pode ser generalizado para situações em que o conjunto de dados é dividido em mais do que dois subgrupos. No caso de 4 subgrupos, além da mediana, dois valores tais que 25% das observações ordenadas estarão abaixo de um deles (//primeiro quartil (Q<​sub>​1</​sub>​)//​) e 75% estarão abaixo do outro (//terceiro quartil (Q<​sub>​3</​sub>​)//​).
 + 
 +Note que a mediana representa o //segundo quartil (Q<​sub>​2</​sub>​)//​.
 +
 +O cálculo dos valores dos quartis também pode ser feito através do histograma.
 +
 +
 +//**Exemplo 1.2:**// No histograma da variável Peso, vemos que o valor de Q<​sub>​1</​sub>​ se encontra no intervalo [50,0; 60,0), ie corresponderá ao valor Q<​sub>​1</​sub>​ que determinará um percentual de 9% no retângulo correspondente:​
 +
 +<​latex>​\[\frac{Q_1-50}{0,​09}=\frac{60-50}{0,​44} ~~ \Rightarrow ~~ Q_1=52,05 kg\] </​latex>​
 +
 +{{ disciplinas:​ce067:​semana2:​figq1.jpg?​420 |Cálculo de Q<​sub>​1</​sub>​ usando o histograma para a variável Peso.}}
 +
 +O terceiro quartil pode ser obtido de forma semelhante (Q<​sub>​3</​sub>​=69,​38).
 +
 +Para o cálculo de quartis usando a tabela de dados brutos, precisamos ordenar as observações e escolher os valores que dividem os dados nas proporções desejadas. Em alguns casos pode ser necessário tomar médias de valores vizinhos.
 +
 +----
 +
 +=== Box-Plot ===
 +
 +É uma forma de representação gráfica dos quartis.
 +
 +  * Definimos uma "​caixa"​ com o nível superior dado por Q<​sub>​3</​sub>​ e o nível inferior por Q<​sub>​1</​sub>​.
 +  * A mediana é representada por um traço no interior da caixa
 +  * Segmentos de reta são colocados da caixa até os valores máximo e mínimo, desde que estas não sejam observações discrepantes((O critério para decidir se uma observação é discrepante será discutido mais adiante no curso)).
 +
 +
 +//**Exemplo 1.3:**// Suponha que um produtor de laranjas costuma guardar as frutas em caixas e está interessado em estudar o número de laranjas por caixa. Após um dia de colheita, 20 caixas foram contadas. Os resultados brutos, após a ordenação,​ são: 
 +
 +22 29 33 35 35 37 38 43 43 44 48 48 52 53 55 57 61 62 67 69
 +
 +Para estes dados temos que:
 +
 +  * <​latex>​$md_{obs}=(10o+11o.)/​2=(44+48)/​2=46$</​latex>​
 +  * Q<​sub>​1</​sub>​=36 e Q<​sub>​3</​sub>​=56
 +  * Min=22
 +  * Máx=69
 +
 +O box-plot correspondente é apresentado na Figura 1.7.
 +
 +{{ disciplinas:​ce067:​semana2:​fig1.7.jpg?​420 |Figura 1.7: Box-plot para o número de laranjas por caixa.}}
 +
 +A representação gráfica através do box-plot informa, dentre outras coisas, a variabilidade e simetria dos dados. Na Figura 1.7 os dados apresentam simetria acentuada((A distância da mediana para os quartis é a mesma.)).
 +
 +O box-plot para a variável Peso (Figura 1.8) por outro lado, apresenta uma pequena assimetria.
 +
 +{{ disciplinas:​ce067:​semana2:​fig1.8.jpg?​420 |Figura 1.8: Box-plot para a variável Peso.}}
 +
 +
 +Gráficos do tipo box-plot também são úteis para detectar, descritivamente,​ diferenças nos comportamentos de grupos de variáveis (veja exemplo na Figura 1.9).
 +
 +{{ disciplinas:​ce067:​semana2:​fig1.9.jpg?​420 |Figura 1.9: Box-plot para a variável Peso por sexo.}}
 +
 +Podemos notar que os homens apresentam peso mediano superior ao das mulheres, além de uma maior variablidade e mais assimetria nos dados. ​

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