disciplinas:ce718:atividades2011:pi

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--- disciplinas:ce718:atividades2011:pi [2011/06/10 09:23]
paulojus criada
+++ disciplinas:ce718:atividades2011:pi [2011/06/21 00:56] (atual)
fernandomayer [section 4]
@@ Linha 1: / Linha 1: @@
-====== Estimação de <m>pi</m> ======
+====== Estimação de pi por simulação ======
-===== Simulação em quadrado/circulo =====
+==== Simulação em quadrado/circulo ====
 ==== Agulha de Buffon ====
-=== Comparação dos algorítmos ===
+Diferentes abordagens para a estimativa de π através do experimento da agulha de Buffon, realizadas pelos participantes do curso:
+=== Éder ===
+<code R>
+buffon.eder <- function(n,l=1,a=1){
+    if(a<l){cat('Erro: a < l, deve ser a > l\n')}
+    if(a>=l){
+        theta <- runif(n,0,pi)
+        dist <- runif(n,0,a/2)
+        inter <- sum(dist <= l/2*sin(theta))
+        phi_est <- round((n/inter)*(2*l/a),12)
+        cat('Número Simulação',n,'phi_estimado', phi_est,'Erro',
+            round(pi-phi_est,12), '\n')
+        return(c(n,phi_est))
+    }
+}
+## Teste de funcionamento
+buffon.eder(1000)
+## Abordagem final
+n <- seq(10000,1000000,by=20000)
+res <- matrix(NA,ncol=2,nrow=length(n))
+con <- 1
+system.time(
+            for (i in n){
+                res[con,] <- buffon.eder(i)
+                con <- con+1
+            }
+            )
+## Plot
+plot(res,type='l',ylab=expression(pi),xlab='Simulações')
+abline(h=pi,col='red')
+</code>
+=== Walmes ===
+<code R>
+buffon.walmes <- function(simul, d=1, l=1, n=10){
+    ## argumentos da função
+    ## simul é o escalar inteiro número de agulhas lançadas
+    ## d é o escalar espaçamento entre as linhas da grade
+    ## l é o escalar comprimento da agulha
+    ## n é o escalar inteiro número de linhas na grade
+    malha <- seq(0, 10, by=d)
+    linhas <- malha[-c(1,length(malha))]
+    range <- range(malha)+c(1,-1)*d
+    x <- matrix(runif(2*simul, range[1], range[2]), ncol=2)
+    a <- runif(simul, 0, 2*pi)
+    y <- x+matrix(c(l*sin(a), l*cos(a)), ncol=2)
+    R <- sapply(seq_len(simul),
+                function(i){
+                    sum(linhas>=x[i,1] & linhas<=y[i,1])>0
+                })
+    rho <- l/d
+    ## função retorna um a lista com
+    ## R vetor de TRUE/FALSE se a linha toca ou não a grade
+    ## o valor de rho
+    ## a matrix X com as coordenadas onde a agulha toca
+    return(list(R=R, rho=rho, X=cbind(cabeca=x,ponta=y)))
+}
+## Teste de funcionamento
+buffon.walmes(1000)
+## Abordagem final
+bf <- buffon.walmes(1000)
+pi0 <- bf$rho/(sum(bf$R)/length(bf$R)); pi0
+## Plot
+plot(bf$rho/(cumsum(bf$R)/c(1:length(bf$R))), type="l")
+abline(h=pi)
+</code>
+=== Fernando ===
+<code R>
+buffon.fernando <- function(n, a = 1, l = 1){
+    buffon.calc <- function(n, ...){
+        D.random <- runif(n, 0, a/2)
+        theta.random <- runif(n, 0, pi)
+        d <- (l/2) * sin(theta.random)
+        H <- numeric(n)
+        H[D.random <= d] <- 1
+        h <- sum(H)
+        pi.est <- (2*l*n)/(a*h)
+        return(pi.est)
+    }
+    pi.res <- sapply(n, buffon.calc)
+    saida <- data.frame(n = n,
+                        pi.est = pi.res,
+                        abs.error = abs(pi.res - pi))
+    class(saida) <- c("buffon", "data.frame")
+    return(saida)
+}
+## Teste
+system.time(
+            testef <- buffon.fernando(1:1000)
+            )
+## Abordagem final
+# ja finalizada
+source("plot.buffon.R")
+## Plot
+plot(buffon.fernando(1:1e4))
+</code>
+A função ''plot.buffon()'' está aqui:
+<code R>
+plot.buffon <- function(x, xlab = "Numero de jogadas da agulha",
+                        ylab = expression(paste("Estimativa de ", pi)),
+                        ...){
+    plot(x$n, x$pi.est, type = "l", xlab = xlab, ylab = ylab,
+         main = "Experimento de Buffon", ...)
+    abline(h = pi, col = "lightgrey")
+}
+</code>
+=== Stuart ===
+Para comparação, o código feito pelos autores da apostila (e também disponível no pacote CIM) está abaixo:
+<code R>
+require(CIM)
+buf(100)
+## edita a funcao para tirar o plot
+buffon.stuart <- function(n){
+    ttt <- NULL
+    ttt[1] <- 0
+    x <- runif(n)
+    th <- runif(n, 0, pi)
+    st <- sin(th)
+    for (i in 1:n) {
+        if (st[i] > x[i])
+            ttt[i + 1] <- ttt[i] + 1
+        else ttt[i + 1] <- ttt[i]
+    }
+    #ttt
+    if (ttt[n + 1] > 0)
+* (0:n)[ttt > 0]/ttt[ttt > 0]
+    else print("no successes")
+}
+## Teste
+buffon.stuart(1000)
+## Plot
+plot(buffon.stuart(1000), type = "l")
+abline(h = pi)
+</code>
+==== Comparação dos algorítmos ====
+=== Executando e armazenando tempos e resultados ===
+<code R>
+## Define um n comum
+n1 <- 1:1e+4
+n2 <- seq(0, 1e+6, 1000)[-1]
+##----------------------------------------------------------------------
+## Tempo Eder com n1
+res.eder.n1 <- matrix(NA, ncol=2, nrow=length(n1))
+con <- 1
+eder.n1 <- system.time(
+                       for (i in n1){
+                           res.eder.n1[con,] <- buffon.eder(i)
+                           con <- con+1
+                       }
+                       )
+## Tempo Walmes com n1
+walmes.n1 <- system.time(
+                         bf <- buffon.walmes(max(n1))
+                         )
+res.walmes.n1 <- bf$rho/(cumsum(bf$R)/c(1:length(bf$R)))
+## Tempo Fernando com n1
+fernando.n1 <- system.time(
+                           res.fernando.n1 <- buffon.fernando(n1)
+                           )
+## Tempo Stuart com n1
+stuart.n1 <- system.time(
+                         res.stuart.n1 <- buffon.stuart(max(n1))
+                         )
+##----------------------------------------------------------------------
+## Tempo Eder com n2
+res.eder.n2 <- matrix(NA, ncol=2, nrow=length(n2))
+con <- 1
+eder.n2 <- system.time(
+                       for (i in n2){
+                           res.eder.n2[con,] <- buffon.eder(i)
+                           con <- con+1
+                       }
+                       )
+## Tempo Walmes com n2
+walmes.n2 <- system.time(
+                         bf <- buffon.walmes(max(n2))
+                         )
+res.walmes.n2 <- bf$rho/(cumsum(bf$R)/c(1:length(bf$R)))
+## Tempo Fernando com n2
+fernando.n2 <- system.time(
+                           res.fernando.n2 <- buffon.fernando(n2)
+                           )
+## Tempo Stuart com n2
+stuart.n2 <- system.time(
+                         res.stuart.n2 <- buffon.stuart(max(n2))
+                         )
+#### Parei em 3261 seg. ~ 55 min.
+</code>
+=== Comparando performances ===
+<code R>
+## Usando n1 = 1:1e4
+##----------------------------------------------------------------------
+## Comparacao de tempos de execucao
+tempo.n1 <- c(eder.n1[3], walmes.n1[3], fernando.n1[3], stuart.n1[3])
+names(tempo.n1) <- c("eder", "walmes", "fernando", "stuart")
+tempo.n1 <- sort(tempo.n1)
+## barchart
+require(lattice)
+barchart(tempo.n1, xlab = "Tempo (s)",
+         panel = function(...){
+             panel.barchart(...)
+             panel.text(x = tempo.n1, y = 1:4,
+                        labels = do.call(as.character,
+                        list(round(tempo.n1, 2))), pos = 2)
+         })
+## Cria um data.frame com todos os resultados
+res.n1 <- data.frame(n = n1,
+                     eder = res.eder.n1[,2],
+                     walmes = res.walmes.n1,
+                     fernando = res.fernando.n1$pi.est,
+                     stuart = res.stuart.n1)
+## modifica o data.frame para o lattice
+require(reshape)
+res.n1 <- melt(res.n1, id = 1)
+## Comparacao grafica
+xyplot(value ~ n | variable, data = res.n1, type = "l", as.table = TRUE,
+       xlab = "Número de jogadas da agulha",
+       ylab = expression(paste("Estimativa de ", pi)),
+       panel = function(...){
+           panel.xyplot(...)
+           panel.abline(h = pi, lty = 2)
+       }, scales = list(relation = "free"))
+## Usando n2 = seq(0, 1e+6, 1000)[-1]
+##----------------------------------------------------------------------
+## Comparacao de tempos de execucao
+tempo.n2 <- c(eder.n2[3], walmes.n2[3], fernando.n2[3])
+names(tempo.n2) <- c("eder", "walmes", "fernando")
+tempo.n2 <- sort(tempo.n2)
+## barchart
+barchart(tempo.n2, xlab = "Tempo (s)",
+         panel = function(...){
+             panel.barchart(...)
+             panel.text(x = tempo.n2, y = 1:4,
+                        labels = do.call(as.character,
+                        list(round(tempo.n2, 2))), pos = 2)
+         })
+## Cria um data.frame com todos os resultados
+## Stuart nao entra pq nao terminou a execução
+## Walmes fica de fora pq vai ate 1e6
+res.n2 <- data.frame(n = n2,
+                     eder = res.eder.n2[,2],
+                     fernando = res.fernando.n2$pi.est)
+## modifica o data.frame para o lattice
+res.n2 <- melt(res.n2, id = 1)
+## Comparacao grafica
+xyplot(value ~ n | variable, data = res.n2, type = "l", as.table = TRUE,
+       xlab = "Número de jogadas da agulha",
+       ylab = expression(paste("Estimativa de ", pi)),
+       panel = function(...){
+           panel.xyplot(...)
+           panel.abline(h = pi, lty = 2)
+       })#, scales = list(relation = "free"))
+## Plot separado do Walmes
+xyplot(res.walmes.n2 ~ 1:max(n2), type = "l",
+       xlab = "Número de jogadas da agulha",
+       ylab = expression(paste("Estimativa de ", pi)),
+       panel = function(...){
+           panel.xyplot(...)
+           panel.abline(h = pi, lty = 2)
+       })
+</code>

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