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--- pessoais:eder [2011/06/12 16:21]
eder [section 5]
+++ pessoais:eder [2011/06/15 22:07]
eder [section 5]
@@ Linha 103: / Linha 103: @@
 ### Metodos de integração numerica
 #Função
-f <- function(x){1/18*x^2}
+f <- function(x){exp(-x^2)}
 a <- -3
 b <- 3
-# Analiticamente
-(1/18*b^3/3)-(1/18*a^3/3)
 # integrar de -3,3
 x <- seq(a,b,l=100)
-plot(x,f(x),type='l')
+plot(x,f(x),type='l',ylim=c(0,1))
 # Integração nativa do R - Gauss–Kronrod quadrature
 integrate(f,a,b)
 ###Simpson 1/3 - INtervalos par, igualmente espaçados
-n <- 12
+n <- 1200
 xi <- seq(a,b,l=n+1)
 i <- seq(2,n,by=2)
@@ Linha 120: / Linha 118: @@
 ((b-a)/n/3)*(f(a)+4*sum(f(xi[i]))+2*sum(f(xi[j]))+f(b))
 ###Simpson 3/8 - Intervalos divisiveis por 3
-n <- 12
+n <- 1200
 xi <- seq(a,b,l=n+1)
 i <- seq(2,n,by=3)
@@ Linha 128: / Linha 126: @@
 w <- c(0.555555,0.888888,0.555555)
 xi <- c(-0.77459667,0,0.77459667)
+(b-a)/2*sum(f((b-a)/2*xi+(a+b)/2)*w)
+### Quadratura gausiana 4º Ordem
+w <- c(0.3478548,0.6521452,0.6521452,0.3478548)
+xi <- c(-0.86113631,-0.33998104,0.33998104,0.86113631)
 (b-a)/2*sum(f((b-a)/2*xi+(a+b)/2)*w)
 ### Quadratura gausiana 6º Ordem
@@ Linha 134: / Linha 136: @@
 (b-a)/2*sum(f((b-a)/2*xi+(a+b)/2)*w)
 ###Monte Carlo
-n <- 1000
+n <- 10000
 xi <- runif(n,a,b)
 Ls <- max(f(seq(a,b,l=100)))
-Li <- min(f(seq(a,b,l=100)))
+Li <- 0
 yi <- runif(n,Li,Ls)
 sum(f(xi)>=yi)/n*((b-a)*(Ls-Li))
 points(xi,yi)
+###Laplace
+#f' <- -2*x*exp(-x^2)
+D2f  <- function(x){(4*x^2-2)*exp(-x^2)}
+D2f(0)
+((2*pi)/((-D2f(0))))^0.5*f(0)
+##Avaliando
+x <- seq(a,b,l=100)
+plot(x,f(x),type='l',ylim=c(0,2))
+lines(x,((2*pi)/((-D2f(0))))^0.5*f(x),col="red")
+###------------------------------------------------------------###
+###------------------------------------------------------------###
+### Solução analitica, númerica e por simulação do modelo
+# X ~ B(n,p)
+# p ~ Beta(alfa,beta)
+###------------------------------------------------------------###
+###------------------------------------------------------------###
+require(sfsmisc)
+require(latticeExtra)
+require(MASS)
+#browseURL('http://cs.illinois.edu/class/sp10/cs598jhm/Slides/Lecture02HO.pdf')
+###------------------------------------------------------------###
+###------------------------------------------------------------###
+### grid de p
+p <- seq(0,0.99999,by=0.001)
+### Priori
+alfa <- 1
+beta <- 1
+p.priori <- dbeta(p,alfa,beta)
+### Verossimilhança
+n <- 1000
+x <- rbinom(1,n,0.3)
+vero <- function(p,n,x){exp(sum(dbinom(x,n,p,log=TRUE)))}
+p.vero <- apply(matrix(p),1,vero,n=n,x=x)
+###------------------------------------------------------------###
+###------------------------------------------------------------###
+### Solução analitica
+### Posteriori
+p.posteA <- dbeta(p,alfa+sum(x),beta+sum(n-x))
+### Plotando
+doubleYScale(xyplot(p.priori + p.posteA ~ p, foo, type = "l",lwd=3),
+             xyplot(p.vero ~ p, foo, type = "l",lwd=2,lty=2),
+             style1 = 0, style2 = 3, add.ylab2 = TRUE,
+             text = c("Priori", "Posteriori", "Verossimilhança"), columns = 3)
+### confirmando se a posteriori é uma fdp
+integrate.xy(p,p.posteA)
+###------------------------------------------------------------###
+###------------------------------------------------------------###
+### INtegração númerica para normalização
+### posteriori
+p.posteN <- (p.priori*p.vero)/(integrate.xy(p,p.priori*p.vero))
+### Plotando
+doubleYScale(xyplot(p.priori + p.posteN ~ p, foo, type = "l",lwd=2),
+             xyplot(p.vero ~ p, foo, type = "l",lwd=2,lty=2),
+             style1 = 0, style2 = 3, add.ylab2 = TRUE,
+             text = c("Priori", "Posteriori", "Verossimilhança"), columns = 3)
+### confirmando se a posteriori é uma fdp
+integrate.xy(p,p.posteN)
+###------------------------------------------------------------###
+###------------------------------------------------------------###
+### Amostragem da posteriori
+ns <- 100000
+theta_chapeu <- sum(x)/(n*length(x))
+theta_i <- rbeta(ns,alfa,beta)
+    u_i <- runif(ns,0,1)
+crite <- u_i <= ((dbeta(theta_i,alfa,beta)*apply(matrix(theta_i),1,vero,n=n,x=x))/
+                 (dbeta(theta_chapeu,alfa,beta)*vero(theta_chapeu,n=n,x=x)))
+a.posteriori <- theta_i[crite]
+mean(a.posteriori,na.rm=TRUE)
+### Taxa Aceitação
+sum(crite)/ns
+###------------------------------------------------------------###
+###------------------------------------------------------------###
+### Comparando os resultados
+hist(a.posteriori,prob=TRUE)
+rug(a.posteriori)
+lines(density(a.posteriori))
+lines(p,p.posteA,col='red',lwd=3)
+lines(p,p.posteN,col='blue',lty=2)
+legend('topleft',c('Amostragem','Analitico','Númerica'),lty=c(1,1,2),col=c('black','red','blue'))
+### Intervalos via verosimilhança aproximado
+theta_chapeu+c(-1,1)*1.96*sqrt((theta_chapeu*(1-theta_chapeu))/n)
+### IC amostragem
+quantile(a.posteriori,c(0.025,0.975))
+### Analitico da conjugada
+qbeta(c(0.025,0.975),alfa+sum(x),beta+sum(n-x))
+###------------------------------------------------------------###
+###------------------------------------------------------------###
 ###-----------------------------------------------------------------###
 ### Regressão Beta

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