Aula Prática 04

Para os exercícios desta aula prática considere as matrizes definidas a seguir.
Recomenda-se que os exercícios sejam resolvidos manualmente e depois utilizando o programa computacional R.

$$A= \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 3 \\ ... ...0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right] ;$$

$$D= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ ... ... 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right] ; K=2$$

$$X= \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & \\ 1 & 1 & 0 ... ...0 & 1 & \\ 1 & 0 & 1 & \\ 1 & 0 & 1 & \end{array}\right]$$

1. Usando as matrizes A e B, verifique as seguintes relações:
   1. TR[A$\pm$B]=TR[A] $\pm$ TR[B];
   2. TR[A]=TR[A'];
   3. TR[AB]=TR[BA];
   4. TR[A$^{-1}BA$]=TR[B];
   5. TR[AA']= $\sum\limits_{i,j} a_{il}^2$ .

2. Obtenha:
   1. A F.E.C. de A, B, C e D;
   2. O rank de A, B, C, D, X e X'X ;
   3. A$^{-1}$, B$^{-1}$, C$^{-1}$, D$^{-1}$ e (X'X)$^{-1}$ se existirem;
   4. Mostre que as matrizes acima que possuem inversa satisfazem a condição AA$^{-1}$=A$^{-1}$A=I.

3. Verifique as seguintes propriedades de matriz inversa:
   1. (EE$^{-1}$)=I;
   2. (E$^{-1}$)$^{-1}$=E;
   3. Se $\exists \ E^{-1}$ e $\exists \ F^{-1}$ então (EF) $^{-1} = F^{-1}E^{-1}$;
   4. $(E^{-1})'=(E')^{-1}$
   5. $(EK)^{-1}= (KE)^{-1}= \frac{1}{K}E^{-1}$

4. Dado o seguinte sistema de equações lineares

   
   

   $$\left\{ \begin{array}{ccccc} 2x_1 & + & x_2 & = & 3\\ 2x_1 & + & 3x_2 & = & 5 \end{array} \right.$$
   
   
   1. Escreva o sistema na forma matricial $Ax=b$;
   2. Determine a solução $x=A^{-1}b$;
   3. Pré multiplique ambos os membros de $Ax=b$ por A';
   4. Determine a solução do novo sistema através de $x=(A'A)^{-1}A'b$