3$^{a}$ lista de exercícios

1. Considere uma a.a. $X_1, X_2, \ldots, X_n$ de uma densidade Normal $N(\theta,\theta)$. Encontre uma estatística suficiente para $\theta$ (onde $\theta > 1$) pelo teorema da Fatoração e verifique também a sua consistência.

2. Com os dados do problema anterior decida entre os estimadores $\bar{X}$ e $S^2$ para estimar $\theta$.

3. Seja $X_1, X_2, \ldots, X_n$ a.a. $N(\mu,\sigma^2)$. Mostre que a estatística $T = \sum a_iX_i$ é não viciada. Indique ainda os valores de $a_i$ para que $T$ seja consistente.

4. Seja $X_1, X_2, \ldots, X_n$ uma amostra aleatória com densidade dada por $f_X(x;\theta)=\theta x^{\theta-1}\,$ , $\, 0 < x < 1 \,$ e $\, \theta > 0$. Verifique a consistência da estatística $\sum ln(x_i)$.
   Dica: Use integração por partes