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11 Conceitos básicos sobre distribuições de probabilidade

O objetivo desta sessão é mostrar o uso de funções do R em problemas de probabilidade. Exercícios que podem (e devem!) ser resolvidos analiticamente são usados para ilustrar o uso do programa e alguns de seus recursos para análises numéricas.

Os problemas nesta sessão foram retirados do livro:
Bussab, W.O. & Morettin, P.A. Estatística Básica. 4a edição. Atual Editora. 1987.
Note que há uma edição mais nova: (5a edição, 2003 - Ed. Saraiva)

EXEMPLO 1 (adaptado de Bussab & Morettin, página 132, exercício 1)
Dada a função

{ 2exp (- 2x ) , se x ≥ 0 f(x) = 0 , se x < 0

Para ser f.d.p. a função não deve ter valores negativos e deve integrar 1 em seu domínio. Vamos começar definindo esta função como uma função no R para qual daremos o nome de f1. A seguir fazemos o gráfico da função. Como a função tem valores positivos para x no intervalo de zero a infinito temos, na prática, para fazer o gráfico, que definir um limite em x até onde vai o gráfico da função. Vamos achar este limite tentando vários valores, conforme mostram os comandos abaixo. O gráfico escolhido e mostrado na Figura 16 foi o produzido pelo comando plot(f1,0,5).

  > f1 <- function(x) {
  +     fx <- ifelse(x < 0, 0, 2 * exp(-2 * x))
  +     return(fx)
  + }
  > plot(f1)
  > plot(f1, 0, 10)
  > plot(f1, 0, 5)

PIC


Figura 16: Gráfico da função de probabilidade do Exemplo 1.

Para verificar que a a integral da função é igual a 1 podemos usar a função integrate() que efetua integração numérica. A função recebe como argumentos o objeto com a função a ser integrada e os limites de integração. Neste exemplo o objeto é f1 definido acima e o domínio da função é [0,∞]. A saída da função mostra o valor da integral (1) e o erro máximo da aproximação numérica.

  > integrate(f1, 0, Inf)

  1 with absolute error < 5e-07

Para fazer cálculos pedidos nos itens (b) e (c) lembramos que a probabilidade é dada pela área sob a curva da função no intervalo pedido. Desta forma as soluções seriam dadas pelas expressões

∫ ∫ ∞ ∞ -2x pb = P(X > 1) = f(x)dx = 2e dx 1 ∫ 0,8 1 ∫ 0.8 p = P(0,2 < X < 0,8) = f (x)dx = 2e- 2xdx c 0,2 0.2
cuja representação gráfica é mostrada na Figura 17. Os comandos do R a seguir mostram como fazer o gráfico de função. O comando plot() desenha o gráfico da função. Para destacar as áreas que correspondem às probabilidades pedidas vamos usar a função polygon(). Esta função adiciona a um gráfico um polígono que é definido pelas coordenadas de seus vértices. Para sombrear a área usa-se o argumento density. Finalmente, para escrever um texto no gráfico usamos a função text() com as coordenadas de posição do texto.
  > plot(f1, 0, 5)
  > polygon(x = c(1, seq(1, 5, l = 20)), y = c(0, f1(seq(1, 5, l = 20))),
  +     density = 10)
  > polygon(x = c(0.2, seq(0.2, 0.8, l = 20), 0.8), y = c(0, f1(seq(0.2,
  +     0.8, l = 20)), 0), col = "gray")
  > text(c(1.2, 0.5), c(0.1, 0.2), c(expression(p[b], p[c])))

PIC


Figura 17: Probabilidades pedidas nos itens (b) e (c) do Exemplo 1.

E para obter as probabilidades pedidas usamos integrate().

  > integrate(f1, 1, Inf)

  0.1353353 with absolute error < 2.1e-05

  > integrate(f1, 0.2, 0.8)

  0.4684235 with absolute error < 5.2e-15

EXEMPLO 2 (Bussab & Morettin, página 139, exercício 10)
A demanda diária de arroz em um supermercado, em centenas de quilos, é uma v.a. X com f.d.p.

( { 23x , se 0 ≤ x < 1 f (x) = - x+ 1 , se 1 ≤ x < 3 (3) ( 0 3, se x < 0 ou x ≥ 3

Novamente começamos definindo um objeto do R que contém a função dada em 3.

Neste caso definimos um vetor do mesmo tamanho do argumento x para armazenar os valores de f(x) e a seguir preenchemos os valores deste vetor para cada faixa de valor de x.

  > f2 <- function(x) {
  +     fx <- numeric(length(x))
  +     fx[x < 0] <- 0
  +     fx[x >= 0 & x < 1] <- 2 * x[x >= 0 & x < 1]/3
  +     fx[x >= 1 & x <= 3] <- (-x[x >= 1 & x <= 3]/3) + 1
  +     fx[x > 3] <- 0
  +     return(fx)
  + }

A seguir verificamos que a integral da função é 1 e fazemos o seu gráfico mostrado na Figura 18.

  > integrate(f2, 0, 3)

  1 with absolute error < 1.1e-15

  > plot(f2, -1, 4)

  1 with absolute error < 1.1e-15

PIC


Figura 18: Gráfico da função densidade de probabilidade do Exemplo 2.

Agora vamos responder às questões levantadas. Na questão (a) pede-se a probabilidade de que sejam vendidos mais que 150 kg (1,5 centenas de quilos), portanto a probabilidade P[X > 1, 5]. A probabilidade corresponde à área sob a função no intervalo pedido ou seja P[X > 1, 5] = ∫ 1,5∞f(x)dx e esta integral pode ser resolvida numericamente com o comando:

  > integrate(f2, 1.5, Inf)

  0.3749999 with absolute error < 3.5e-05

A venda esperada em trinta dias é 30 vezes o valor esperado de venda em um dia. Para calcular a esperança E[X] = ∫ xf(x)dx definimos uma nova função e resolvemos a integral. A função integrate retorna uma lista onde um dos elementos ($value) é o valor da integral.

  > ef2 <- function(x) {
  +     x * f2(x)
  + }
  > integrate(ef2, 0, 3)

  1.333333 with absolute error < 7.3e-05

  > 30 * integrate(ef2, 0, 3)$value

  [1] 40

Na questão (c) estamos em busca do quantil 95% da distribuição de probabilidades, ou seja o valor de x que deixa 95% de massa de probabilidade abaixo dele. Este valor que vamos chamar de k é dado por:

∫ k f(x)dx = 0.95. 0
Para encontrar este valor vamos definir uma função que calcula a diferença (em valor absoluto) entre 0.95 e a probabilidade associada a um valor qualquer de x. O quantil será o valor que minimiza esta probabilidade. Este é portanto um problema de otimização numérica e para resolvê-lo vamos usar a função optimize() do R, que recebe como argumentos a função a ser otimizada e o intervalo no qual deve procurar a solução. A resposta mostra o valor do quantil x = 2.452278 e a função objetivo com valor muito próximo de 0, que era o que desejávamos.
  > f <- function(x) abs(0.95 - integrate(f2, 0, x)$value)
  > optimise(f, c(0, 3))

  $minimum
  [1] 2.452278
  
  $objective
  [1] 7.573257e-08

A Figura 19 ilustra as soluções dos itens (a) e (c) e os comandos abaixo foram utilizados para obtenção destes gráficos.

  > par(mfrow = c(1, 2), mar = c(3, 3, 0, 0), mgp = c(2, 1, 0))
  > plot(f2, -1, 4)
  > polygon(x = c(1.5, 1.5, 3), y = c(0, f2(1.5), 0), dens = 10)
  > k <- optimise(f, c(0, 3))$min
  > plot(f2, -1, 4)
  > polygon(x = c(0, 1, k, k), y = c(0, f2(1), f2(k), 0), dens = 10)
  > text(c(1.5, k), c(0.2, 0), c("0.95", "k"), cex = 2.5)

PIC


Figura 19: Gráficos indicando as soluções dos itens (a) e (c) do Exemplo 2.

Finalmente lembramos que os exemplos discutidos aqui são simples e não requerem soluções numéricas, devendo ser resolvidos analiticamente. Utilizamos estes exemplos somente para ilustrar a obtenção de soluções numéricas com o uso do R, que na prática deve ser utilizado em problemas mais complexos onde soluções analíticas não são triviais ou mesmo impossíveis.

11.1 Exercícios

1.
(Bussab & Morettin, 5a edição, pag. 194, ex. 28)
Em uma determinada localidade a distribuição de renda, em u.m. (unidade monetária) é uma variável aleatória X com função de distribuição de probabilidade:
( { 110x + 110- se 0 ≤ x ≤ 2 f(x) = - -3x + -9 se 2 < x ≤ 6 ( 0 40 20 se x < 0 ou x > 6

(a)
mostre que f(x) é uma f.d.p..
(b)
calcule os quartis da distribuição.
(c)
calcule a probabilidade de encontrar uma pessoa com renda acima de 4,5 u.m. e indique o resultado no gráfico da distribuição.
(d)
qual a renda média nesta localidade?

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