Axiomas

Suponha que um hospital é selecionado dentre 8080 hospitais emergenciais de tal forma que:

1.

todo hospital é igualmente provável de ser selecionado

2.

a seleção é aletória

3.

a probabilidade de seleção de um ou outro hospital é a soma das probabilidades de seleção de cada hospital (aditividade)

Dadas essas suposições, a probabilidade de selecionar um hospital de uma particular região é simplesmente a proporção de todos os hospitais naquela região.

Tabela 1.3: Distribuição dos hospitais emergenciais por região geográfica e tamanho, EUA, 1981

		Região
		Nordeste	Centro-Norte	Sul	Oeste	Total
Tamanho	Parâmetro	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
6-49	$N$	223	901	1679	734	3537
	$p$	0.028	0.112	0.208	0.091	0.438
50-99	$N$	301	487	751	379	1918
	$p$	0.037	0.060	0.093	0.047	0.237
100-199	$N$	298	414	491	224	1427
	$p$	0.037	0.051	0.061	0.028	0.177
200-299	$N$	196	168	169	99	632
	$p$	0.024	0.021	0.021	0.012	0.078
300+	$N$	167	186	146	67	566
	$p$	0.021	0.023	0.018	0.008	0.070
Total	$N$	1185	2156	3236	1503	8080
	$p$	0.147	0.267	0.400	0.186	1.000

Fonte:National Center for Health Statistics (1983)

A última linha da Tabela 1.3 mostra o número e a proporção de hospitais em cada uma das 4 regiões. A proporção no Noroeste é 0.147. Se a seleção for aleatória, a probabilidade do hospital selecionado ser do Noroeste é 0.147.

Isto pode parecer um tanto quanto óbvio, mas o ponto principal é que os conceitos de probabilidade e seleção aleatória estão atados. Para nossos propósitos a noção de probabilidade corresponde a proporções (possivelmente desconhecidas).

Para o terceiro axioma (aditividade) suponha que um indivíduo está em dentre dois níveis mutuamente exclusivos de uma variável. A probabilidade de selecionar tal indivíduo é a soma de duas probabilidades.

Mais formalmente, probabilidades associadas com a variável categórica, denotada por $A$, com $I$ níveis indexados por $i=1,\cdots,I$, têm três propriedades importantes:

1. $P(A=i)=p_i$, onde $0 \leq p_i \leq 1$
2. $(p_1+p_2+\cdots+p_I)=1$
3. $P(A=i ou A=j)=p_i+p_j, i \neq j$

Quando estas propriedades são satisfeitas, o conjunto completo de probabilidades,

$$P(A=1)=p_1, P(A=2)=p_2, \cdots, P(A=I)=p_I,$$

é chamada distribuição de probabilidades.

Exemplo:

Denotando $i=1$ para a região Nordeste, $i=2$ para a região Centro-Norte, e assim por diante para a variável região $R$, então:
$P(R=1)=p_1=0.147$, $P(R=2)=p_2=0.267$, $P(R=3)=p_3=0.400$ e $P(R=4)=p_4=0.186$.

Exemplo:

Qual é a probabilidade de selecionar um hospital da região Norte (ie ou do Nordeste (R=1) ou do Centro-Norte (R=2))? O significado da aditividade é que:

$$P[(R=1) ou (R=2)]=P(R=1)+P(R=2)=p_1+p_2=0.413.$$

Exercício:

Qual é a probabilidade de selecionar um hospital fora da região Sul?