Probabilidade Condicional e Independeência

Usualmente, analisa-se a relação entre pares de variáveis. Por exemplo, a pergunta:

``Qual é a probabilidade de que um hospital selecionado aleatóriamente do Sul tenha 50-99 camas?''

implica que se tem interesse na associação entre tamanho do hospital e região geográfica.

Genéricamente, discuste-se a probabilidade da variável $(A=i)$ sempre que a variável $(B=j)$. Isto é uma probabilidade condicional. Suponha que $P(A=i)>0$ para todo $i$ e $P(B=j)>0$ para todo $j$, tem-se que:

$$P(A=i\vert B=j)=\frac{P(A=i,B=j)}{P(B=j)}$$

$$P(B=j\vert A=i)=\frac{P(A=i,B=j)}{P(A=i)}.$$

O termo $P(A=i,B=j)$ é chamado probabilidade conjunta de A e B e os termos no denominador são denominados probabilidades marginais porque

$$P(A=1,B=j)+P(A=2,B=j)+\cdots+P(A=I,B=j)=P(B=j)$$

$$P(A=i,B=1)+P(A=i,B=2)+\cdots+P(A=i,B=J)=P(A=i)$$

Independência é uma forma estatística de especificar que duas variáveis são não relacionadas. Variáveis são ditas independentes sempre a seguinte propriedade seja válida para todo $i$ e $j$:

$$P(A=i,B=j)=P(A=i)P(B=j).$$

Note que se $A$ e $B$ sãi independentes, $P(A\vert B)=P(A)$ e $P(B\vert A)=P(B)$.

Exemplo:

Denotando $B$ a variável tamanho do hospital, então $B=1$ corresponde ao tamanho 6-49, $B=2$ a 50-99, e assim por diante.

Se um hospital é selecionado ao acaso, a probabilidade de selecionar um hospital do Oeste com menos de 50 camas é $P(B=1,R=4)=734/8080=0.091$.

Uma questão interessante é se $B$ e $R$ são independentes. Como

$$P(B=1)P(R=4)=0.438(0.186)=0.081 \neq P(B=1,R=4)$$

então tamanho do hospital e região não são independentes.

A Tabela 1.4 mostra algumas distribuições condicionais.

Tabela 1.4: Distribuição dos hospitais emergenciais dado região geográfica e tamanho, EUA, 1981

		Região
		Nordeste	Centro-Norte	Sul	Oeste	Total
Tamanho	Parâmetro	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
6-49	$R\vert B$	0.063	0.255	0.475	0.208	1
	$B\vert R$	0.188	0.318	0.519	0.488	0.438
50-99	$R\vert B$	0.157	0.254	0.391	0.198	1
	$B\vert R$	0.254	0.226	0.232	0.252	0.237
100-199	$R\vert B$	0.209	0.290	0.344	0.157	1
	$B\vert R$	0.251	0.192	0.152	0.149	0.177
200-299	$R\vert B$	0.310	0.266	0.267	0.157	1
	$B\vert R$	0.165	0.078	0.052	0.066	0.078
300+	$R\vert B$	0.295	0.329	0.258	0.118	1
	$B\vert R$	0.141	0.086	0.045	0.045	0.070
Total		0.147	0.267	0.400	0.186	-
		1	1	1	1

A probabilidade condicional do menor hospital ser do Sul é 1679/3537=0.475.

De forma análoga, a probabilidade de um hospital do Oeste ter 300 ou mais camas é 67/1503=0.045.

A terminologia fica então mais clara:

• Distribuição conjunta: coleção completa das proporções nas caselas do corpo da tabela
• Distribuições marginais: refere-se somente às proporções de linha e coluna.
• Distribuições condicionais: pode ser em termos das linhas ou das colunas.