Teorema de Bayes

Numa variedade de situações é útil ser capaz de derivar um conjunto de probabilidades condicionais a partir de um outro conjunto.

Exemplo:

Entre os estudantes da UFPR, qual a proporção de mulheres? Suponha que nós tenhamos apenas a distribuição condicional da educação (E) dado sexo (S) (Tabela 1.5).

Tabela 1.5: Distribuição condicional da educação
dado sexo (E|S)

	Educação (E)
Sexo	UFPR	Outras	nenhum	Total
(S)	(1)	(2)	(3)
Mulheres (1)	0.22	0.44	0.33	1
Homens (2)	0.18	0.27	0.55	1
Total	0.20	0.35	0.45	1

Sabemos por outras fontes que mulheres representam 45% da população alvo. Temos então $P(E=i\vert S=j)$ da tabela e $P(S=1)=0.45$, mas queremos saber $P(S=1\vert E=2)$. Usando a definição de probabilidade condicional podemos escrever

$$\begin{eqnarray*} P(S=1\vert E=2)&=&\frac{P(S=1,E=2)}{P(E=2)}\\ &=&\frac{P(S=1... ...=2)}\\ &=&\frac{0.45(0.44)}{0.45(0.44)+0.55(0.27)}\\ &=&0.57 \end{eqnarray*}$$

Este é um exemplo do teorema de Bayes. De forma geral,

$$P(A=i\vert B=j)=\frac{P(A=i)P(B=j\vert A=i)}{\sum_{i=1}^{I} P(A=i)P(B=j\vert A=i)}.$$

Note que o denominador é igual a $P(B=j)$.

Aplicação em estudos de caso-controle

Uma importante aplicação do teorema de Bayes ocorre na análise de estudos caso-controle. Neste estudo, verifica-se se indivíduos com uma particular doença (casos) foram expostos a um determinado fator de interesse. A taxa de exposição é então comparada com a encontrada num grupo comparável de sujeitos livres da doença (controles).

Pode-se comparar as probabilidades condicionais de exposição e verificar a relação entre exposição ($E$) e a ocorrência da doença ($D$) (veja Tabela 1.6).

Tabela 1.6: Estrutura de probabilidade
de um estudo de caso-controle

	Doença ($D$)
Exposição ($E$)	Presente	Ausente
Presente	$P(E\vert D)$	$P(E\vert\bar{D})$
Ausente	$P(\bar{E}\vert D)$	$P(\bar{E}\vert\bar{D})$
Total	1	1

Infelizmente é desejada a comparação das probabilidades condicionais de doença dado exposição com as probabilidades condicionais dentre os não-expostos. Essa comparação pode ser feita quando o estudo é do tipo coorte.

Aplicação em estudos de coorte

A estrutura de estudos de coorte é mostrada na Tabela 1.7.

Tabela 1.7: Estrutura de probabilidade
de um estudo de coorte

	Doença ($D$)
Exposição ($E$)	Presente	Ausente	Total
Presente	$P(D\vert E)$	$P(D\vert\bar{E})$	1
Ausente	$P(\bar{D}\vert E)$	$P(\bar{D}\vert\bar{E})$	1

Os dois estudos podem ser relacionados utilizando os riscos de doença, ou taxas de incidência num dado período de tempo, como as seguintes probabilidades condicionais:

$$P(D\vert E)=\frac{P(D)P(E\vert D)}{P(D)P(E\vert D)+P(\bar{D})P(E\vert\bar{D})}$$

$$P(D\vert\bar{E})=\frac{P(D)P(\bar{E}\vert D)}{P(D)P(\bar{E}\vert D)+P(\bar{D})P(\bar{E}\vert\bar{D})}$$

Uma forma de comparar estas probabilidades condicionais é tomar a sua razão. Esta é chamada de risco relativo pelos epidemiologistas:

$$\begin{eqnarray*} RR&=&\frac{P(D\vert E)}{P(D\vert\bar{E})}\\ &=&\frac{P(D)P(E... ...ert D)/[P(D)P(\bar{E}\vert D)+P(\bar{D})P(\bar{E}\vert\bar{D})]} \end{eqnarray*}$$

Note que $P(\bar{D})=1-P(D)$ e desse modo temos que:

$$\begin{eqnarray*} RR&=&\frac{P(E\vert D)\{P(\bar{E}\vert\bar{D})+P(D)[P(\bar{E}\... ...\vert D)\{P(E\vert\bar{D})+P(D)[P(E\vert D)-P(E\vert\bar{D})]\}} \end{eqnarray*}$$

O passo final é utilizar a suposição de ``doença rara''. Isto significa que assuminos que $P(D)$ é tão pequeno que a equação passa a ser escrita como:

$$\begin{eqnarray*} RR&=&\frac{P(E\vert D)P(\bar{E}\vert\bar{D})} {P(\bar{E}\vert... ...r{E}\vert D)}{P(E\vert\bar{D})/P(\bar{E}\vert\bar{D})}\\ &=&OR \end{eqnarray*}$$

Este termo final foi denominado razão de chances (``odds ratio'') ou razão de produtos cruzados por Cornfield (1951) e pode ser estimada da Tabela 1.6 (estudo de caso-controle).

Note que

$$odds=P(evento)/[1-P(evento)]$$