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disciplinas:ce223:exercicios2008 [2008/02/28 21:33] paulojus |
disciplinas:ce223:exercicios2008 [2008/05/07 16:47] paulojus |
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====== Exercícios recomendados da CE-223 Estatística computacional, 2008 ====== | ====== Exercícios recomendados da CE-223 Estatística computacional, 2008 ====== | ||
- | ==== Semana 1 ==== | + | O material de apoio do curso possui vários exercícios ao final de cada seção. Os exercicios a seguir são //complementos// aos do material. |
- | * Aula 25/02 | + | |
+ | === Aula 25/02 === | ||
- Fazer um gráfico da função de probabilidade de uma v.a. <latex>X \sim Bin(n=10, p=0.03)</latex> | - Fazer um gráfico da função de probabilidade de uma v.a. <latex>X \sim Bin(n=10, p=0.03)</latex> | ||
- Fazer um gráfico da função de densidade de probabilidade de uma v.a. <latex>X \sim N(70, 10^2)</latex> | - Fazer um gráfico da função de densidade de probabilidade de uma v.a. <latex>X \sim N(70, 10^2)</latex> | ||
- | * Aula 27/02 | + | === Aula 27/02 === |
- Mostrar o comando para obter uma sequência dos múltiplos de 10 até 200. | - Mostrar o comando para obter uma sequência dos múltiplos de 10 até 200. | ||
- Criar um vetor ''a1'' com os elementos ''(23, 45, 21, 29, 40, 22, 29, 37, 44, 37, 31, 33, 36)'' | - Criar um vetor ''a1'' com os elementos ''(23, 45, 21, 29, 40, 22, 29, 37, 44, 37, 31, 33, 36)'' | ||
Linha 15: | Linha 16: | ||
- Obter a posição do menor elemento da ''a1'' | - Obter a posição do menor elemento da ''a1'' | ||
- Criar um vetor ''a3'' com os elementos de ''a1'' para os quais o resto da divisão por 3 seja igual a 2. (Dica: o operador ''% %'' fornece o resto da divisão, veja exemplo a seguir).<code R> | - Criar um vetor ''a3'' com os elementos de ''a1'' para os quais o resto da divisão por 3 seja igual a 2. (Dica: o operador ''% %'' fornece o resto da divisão, veja exemplo a seguir).<code R> | ||
- | > 14 %% 3 | + | > 14 %% 3 |
- | [1] 2 | + | [1] 2 |
- | > 18 %% 3 | + | > 18 %% 3 |
- | [1] 0 | + | [1] 0 |
- | > 22 %% 3 | + | > 22 %% 3 |
- | [1] 1 | + | [1] 1 |
</code> | </code> | ||
- Extrair os elementos de ''a1'' que sejam múltiplos de 4 | - Extrair os elementos de ''a1'' que sejam múltiplos de 4 | ||
Linha 27: | Linha 28: | ||
- Obter as posições de ''a1'' onde estão os valores perdidos | - Obter as posições de ''a1'' onde estão os valores perdidos | ||
- Crie um vetor chamado ''sexo'' com os comandos a seguir: <code R> | - Crie um vetor chamado ''sexo'' com os comandos a seguir: <code R> | ||
- | sexo <- c(1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2) | + | sexo <- c(1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2) |
- | sexo <- factor(sexo, lev=1:2, lab=c("M","F")) | + | sexo <- factor(sexo, lev=1:2, lab=c("M","F")) |
</code> | </code> | ||
- Obter as posições em ''sexo'' que possuem o valor ''“M“'' | - Obter as posições em ''sexo'' que possuem o valor ''“M“'' | ||
- Obter os valores de ''a1'' para os quais o valor correspondente em ''sexo'' é ''“M“'' | - Obter os valores de ''a1'' para os quais o valor correspondente em ''sexo'' é ''“M“'' | ||
- Obter os valores de ''a1'' para os quais o valor correspondente em ''sexo'' é ''“F“'' | - Obter os valores de ''a1'' para os quais o valor correspondente em ''sexo'' é ''“F“'' | ||
+ | - Descrever o resultado de cada um dos comandos a seguir: <code R> | ||
+ | sort(a1) | ||
+ | order(a1) | ||
+ | a1[order(a1)] | ||
+ | sort(a1, dec = TRUE) | ||
+ | </code> | ||
+ | - Criar um objeto ''a1.ord'' com os elementos de ''a1'' em ordem crescente | ||
+ | - Ordenar os objetos de ''a1'' de forma a exibir primeiro todos os elementos correpondentes a ''“M“'' e depois os correspondentes a ''“F“'' | ||
+ | - Criar um objeto chamado ''notas'' que possua os elementos de ''a1'' com valores correspondentes de ''sexo'' sendo ''“M“'' ordenados de forma crescente, seguidos pelos correspondentes a ''“F“'' também ordenados de forma crescente. Em outras palavras, o objeto notas deverá ter as notas dos homes ordenadas seguidas pelas das mulheres também ordenadas. | ||
+ | - Criar um vetor com os seguinte elementos: ''(1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500)'' | ||
+ | - Adicionar o valor ''55'' entre os valores ''50'' e ''60'' do vetor criado acima | ||
+ | |||
+ | |||
+ | === Aula 25/02 === | ||
+ | A //função Gamma// é uma função importante em várias áreas da matemática e com diversas aplicações em estatística, sendo dada por:\\ | ||
+ | <latex>\Gamma(\alpha) = \int_0^{\infty} e^{-x} x^{\alpha -1} dx</latex> com <latex>\alpha > 0</latex>. | ||
+ | |||
+ | Da definição decorrem as seguintes propriedades: | ||
+ | * <latex>\Gamma(\alpha+1) = \alpha \Gamma(\alpha)</latex> | ||
+ | * Se <latex>\alpha = n</latex> é um número inteiro, então <latex>\Gamma(n) = (n-1)!</latex> | ||
+ | * <latex>\Gamma(1) = 1</latex> | ||
+ | * <latex>\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}</latex> | ||
+ | - Obtenha usando o R o resultado da combinação de 10 elementos tomados 4 a 4 de três formas diferentes: | ||
+ | * usando a função ''choose()'' | ||
+ | * usando a função ''factorial()'' | ||
+ | * usando a função ''gamma()'' | ||
+ | - digite na linha de comando do R: <code R> | ||
+ | factorial | ||
+ | </code> desta forma será mostrado o código da função. Note que a função ''factorial()'' na verdade utiliza a função ''gamma()'' e a segunda propriedade mencionada acima para processar os cálculos. | ||
+ | - Obtenha um gráfico da função de densidade de probabilidade da distribuição <latex>\chi^2</latex>, três graus de liberdade, de duas formas diferentes: | ||
+ | * utilizando operações algébricas com a expressão da f.d.p. | ||
+ | * utilizando a função ''dchisq()'' | ||
+ | - Obtenha um gráfico de formas análogas às do exercício anterior para a distribuição ''t'' com 9 graus de liberdade. | ||
+ | - Considere o exercício da distribuição binomial da primeira aula do curso e discutido na aula desta semana. Experimente utilizar o comando ''plot()'' com o uso do argumento ''type'' com cada uma das opções: ''type = “p“'', ''type = “l“'', ''type = “b“'', ''type = “c“'', ''type = “o“'', ''type = “h“'', ''type = “s“'', ''type = “S“'', ''type = “n“''. Verifique os resultados produzidos e: | ||
+ | * descreva o tipo de gráfico produzido com cada opção | ||
+ | * discuta exemplos de situações onde o uso de cada um destes tipos de gráficos seria adequado | ||
+ | |||
+ | === Aula 30/04 === | ||
+ | |||
+ | - Ilustre via simulação o seguinte resultados, | ||
+ | * Se <latex>$Z \sim N(0,1)$</latex> então <latex>$Z^2 \sim\chi^2_1$</latex>. | ||
+ | * Se <latex>$Z_1,\dots,Z_n\sim N(0,1)$</latex> então <latex>\sum Z_i^2 \sim\chi^2_n$</latex>. | ||
+ | * Se <latex>$Y_1,\dots,Y_n\sim N(\mu,\sigma^2)$</latex> então <latex>$(1/n)\sum Y_i\sim N(\mu,\sigma^2/n)$</latex>. | ||
+ | * Se <latex>$Y_1,\dots,Y_n\sim N(\mu,\sigma^2)$</latex> e <latex>$S2 = \sum(Y_i-\bar{Y})^2/(n-1)$</latex> então <latex>$V = (n-1)S2 ∕ \sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$</latex>. Compare os valores teóricos <latex>$E[S2] = \sigma^2$</latex> e <latex>$Var[S2] = 2\sigma^2 / (n-1)$</latex> com os valores obtidos na simulação. | ||
+ | - Considere uma distribuição N(0,1) e amostras de tamanho n = 20 desta distribuição. Sejam dois estimadores: T1, a média amostral e T2 a mediana amostral. Avalie e compare através de simulações a eficiência dos dois estimadores. É possível identificar o mais eficiente? Qual a eficiência relativa? Repita o procedimento com diferentes tamanhos de amostra e verifique o efeito do tamanho da amostra na eficiência relativa. | ||
+ | - Ilustrar o resultado que diz que o quociente de duas variáveis independentes com distribuição qui-quadrado tem distribuição F. | ||
+ | === Aula 07/05 === |