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CE-227 - Primeiro semestre de 2018

CE-227 - Primeiro semestre de 2018

No quadro abaixo será anotado o conteúdo dado em cada aula do curso.
São indicados os Capítulos e Sessões correspondentes nas referências bibliográficas, bem como os exercícios sugeridos.

Veja ainda depois da tabela as Atividades Complementares.

Observação sobre exercícios recomendados os exercícios indicados são compatíveis com o nível e conteúdo do curso.
Se não puder fazer todos, escolha alguns entre os indicados.

Conteúdos das Aulas

Data Conteúdo Leitura Exercícios Tópico
19/02 Seg Informações sobre o curso. Motivação inicial pela discussão de 3 situações Cap 1 da "apostila" do curso Ver abaixo e sugerido em aula
21/02 Qua Discussão dos problemas propostos na aula anterior. Teorema de Bayes para o casos discretos e contínuos. Exemplo verossimilhança binomial e priori Beta. Obtenção de priori a partir da "opinião" sobre a proporção. Cap 2 da "apostila" do curso, até o exemplo 2.2 Ver abaixo e sugerido em aula
26/02 Seg Revisão de conceitos e exemplos discutidos até aqui. Discussão sobre as versões discreta e continua do Teorema de Bayes. Relações entre problemas e notação unificada. Especificação de priori Beta a partir da informação subjetiva Cap 2 da "apostila" do curso Ver abaixo e sugerido em aula
28/02 Qua 1a avaliação periódica. Discussão da avaliação. Características da abordagem bayesiana: atualização sequencial, suficiência, princípio da verossimilhança Cap. 2 (todo) 1a avaliação periódica
05/03 Seg Elicitação de priori para o exemplo de verossimilhança binomial com priori beta - apresentação de implementação. Distribuição marginal e relações com modelos de efeitos aleatórios. Especificação de prioris: conjugadas, impróprias e representações de ignorância Cap. 3 até 3.4
07/03 Qua Discussão sobre o Capitulo 3 do material Cap. 3 Ver abaixo e sugerido em aula
12/03 Seg Implementação de problemas de aula e materiais (Alcides, Bruna e Hektor). Apresentação inicial de exercício de inferência sobre a variância. Exercício para estudo e discussão
14/03 Qua Inferência para posterioris de forma desconhecida: aproximação normal, discretização e amostragem por MCMC. ver abaixo
19/03 Seg Revisão e dúvidas sobe materia da aula anterior. Implementação da discretização. Amostragem e "jitter" das amostras da discreta ver abaixo
21/03 Qua Não haverá aula expositiva Revisar conteúdos até aqui.
26/03 Seg Resumindo posteriori: Decisão (espaço discreto), estimação pontual (espaço contínuo), intervalos e testes Cap 5, sec 5.1 ver abaixo
28/03 Qua 2a avaliação
02/04 Seg Discussão da 2a avaliação
04/04 Qua Resumindo posteriori: estimação pontual (espaço contínuo), intervalos e testes, Predição Bayesiana Cap 5 e Cap 6 ver abaixo
09/04 Seg Inferência em problemas com mais de um parâmetro Cap 4: ler, estudar e refazer exemplos ver abaixo
11/04 Qua Sem aula expositiva. Fazer atividades recomendadas da aula anterior (ver abaixo)
16/04 Seg Resolução e discussão do exercício 6.1. Obtendo a preditiva: (i) analiticamente, (ii) por aproximação normal (iii) por simulação ver abaixo
18/04 Qua Algoritmo amostrador de Gibbs (Gibbs sampler). Exemplo na inferência para distribuição normal ver abaixo
23/04 Seg Revisão Gibbs sampler. Modelo Poisson com priori Gamma e hiperpriori InvGamma. Derivação da posteriori, condicionais completas e implementação do algoritmo de Gibbs. Regressão linear: expressões para amostragem exata e via Gibbs ver abaixo
25/04 Qua Gibbs sampler compasso Metrópolis. Modelo Poisson com priori Normal. Derivação da posteriori, condicionais completas e implementação do algoritmo de Gibbs com um passo metrópolis. ver abaixo
30/04 Seg Feriado
02/05 Qua 1a prova
07/05 Seg Discussão das questões da 1a prova. Definição de atividades para sequencia do curso ver abaixo
09/05 Qua Recursos computacionais para inferência Bayesiana - Atividades indicadas na aula anterior. Sem aula expositiva.
14/05 Seg Gibbs sampler: exemplo das minas de carvão. Programação e utilização do JAGS ver abaixo
16/05 Qua Modelo de componentes de variância e correlação intraclasse, análise Bayesiana e não Bayesiana. Análise via JAGS ver abaixo
21/05 Seg Sem aula expositiva: semana dedicada às atividades do RDay e RBras
23/05 Qua Sem aula expositiva: semana dedicada às atividades do RDay e RBras
28/05 Seg Sem aula expositiva: interrupção de aulas na UFPR
30/05 Qua Sem aula expositiva: interrupção de aulas na UFPR
04/06 Seg Reorganização do curso. Dúvidas e perguntas dos alunos
06/06 Qua 2a prova. Toda matéria discutida até aqui
11/06 Qua Bayesiano empírico - modelo Poisson-Gamma para taxas
13/06 Qua Apresentações
18/06 Qua Apresentações
20/06 Qua 3a prova.

19/02

  1. Problema 1: catapora ou varíola? Formalizar e responder pergunta de interesse
    1. 90% dos que tem varíola apresentam os sintomas reportados
    2. 80% dos que tem catapora apresentam os sintomas reportados
    3. prevalência de varíola na população: 1/1000
    4. prevalência de catapora na população: 1/1000
  2. Problema 2:
    1. Assistir a parte inicial do //sketch// four candles/fork handles e notar o problema do reconhecimento de voz
    2. Relacionar elementos com o problema anterior
    3. Formalizar notações, atribuir probabilidades e calcular quantidades de interesse
  3. Problema 3: (está na apostila mas tentar resolver de alguma forma antes de ler o material)
    1. Uma caixa possui 6 bolas. Retiram-se 3 que são todas pretas. Qual a probabilidade de não haver mais bolas pretas na caixa?
  4. Ler e resolver exercícios do Capítulo 1 da apostila

21/02

  1. Revisitar Problema 2: acima
  2. Considerar o exemplo de aula com dados n=200, y=75 e as prioris escolhidas. Obter gráficos das prioris e posterioris. Verificar o efeito do tamanho de amostra aumentando n e y na mesma proporção e repetindo os gráficos.
  3. Escrever algum código para obtenção a priori a partir da opinião sobre a proporção cf discutido em aula. Verificar seu código com a sua opinião e as ilustradas em aula (ver tabela a seguir)
Estimativa Intervalo Probabilidade
0,63 (0,40 ; 0,75) 90%
0,42 (0,32 ; 0,52) 80%
0,20 (0,05 ; 0,35) 80%
0,50 (0 ; 1) 100%
0,30 (0,20 ; 0,40) 50%

26/02

  1. Completar problemas propostas nas aulas anteriores após as discussões em aula
  2. Escrever um código para o Exemplo da Poisson (2.3 do material), que permita desenhar as funções e avaliar efeitos de prioris e dados
  3. Ler e resolver exercícios do Capítulo 2 da apostila

07/03

  1. Exercícios do Cap 3
  2. Escrever um código que receba: modelo, dados, priori conjugada e retorne posteriori (parâmetros e gráficos)

14/03

  1. Montar um algoritmo para aproximação por discretização do exemplo
  2. Tome algum outro modelo de um parâmetro e desenvolva os resultados análogos aos vistos em aula.

19/03

  1. Visualizar, experimentar e comentar o aplicativo shiny construído por Bruna, Hektor e Alcides

26/03

  1. Refazer exemplos e fazer Exercício 5.1 do Cap 5
    1. Código para o Exemplo 5.1:
      # Priori [\theta]
      (th <- c(th1=0.6, th2=0.4))
       
      # Verossimilhança  [Y|\theta]
      y.th1 <- c(y1=0.35, y2=0.30, y3=0.21, y4=0.14) 
      y.th2 <- c(y1=0.09, y2=0.17, y3= 0.25, y4=0.49) 
      (y.th <- rbind(y.th1, y.th2))
       
      # Conjunta [Y, \theta] = [\theta] \cdot [Y|\theta]
      (yth <- th * y.th)
      rownames(yth) <- c("yth1", "yth2")
      yth 
       
      # Marginal [Y]
      (y <- drop(crossprod(th, y.th)))
      # ou ...
      colSums(th * y.th)
       
      # Posteriori
      (th.y <- t(t(yth)/drop(y)))
      rownames(th.y) <- c("th1.y", "th2.y")
      th.y
       
      ## Fc Perda
      L <- diag(c(8,20))
      rownames(L) <- paste("a", 1:2, sep="")
      L
      (L.th.y <- L %*% th.y)
       
      ## Decisão
      D.f <- function(x) ifelse(x[1] < x[2], "a1:Vacina", "a2:Não Vacina")
      apply(L.th.y, 2, D.f)
       
      ## Perda baseada na regra de decisão para cada resultado de exame
      apply(L.th.y, 2, min)
       
      ## Risco de Bayes (associado a uma determinada regra adotada aqui)
      ## -- perda média esperada
      sum(apply(L.th.y, 2, min) * y)
       
      ## Outra regra: Vacina todo mundo
      L <- diag(c(8,0))
      (LT.th.y <- LT %*% th.y)
      sum(apply(LT.th.y, 2, sum) * y)
      ## ou simplesmente...
      sum(th * c(8,0))
       
      ## Ainda outra regra: não vacina ninguém
      LN <- diag(c(0,20))
      (LN.th.y <- LN %*% th.y)
      sum(apply(LN.th.y, 2, sum) * y)
      ## ou simplesmente...
      sum(th * c(0,20))

02/04

  1. Na questão 1 verificar como a mudança na priori (proporção de motoristas acima do limite) afeta os resultados
  2. Na questão 2 refazer com a parametrização alternativa da exponencial e gama
  3. Ainda na questão 2 fazer utilizando o resultado genérico de prioris conjugadas para família exponencial
  4. Na questão 4 supor uma amostra de 5 valores (7, 3, 4, 5, 2), obter a posteriori e fazer os gráficos de priori, verossimilhança e posteriori

04/04

  1. Refazer exemplos e fazer Exercício 5.2 a 5.4 do Cap 5
  2. Refazer exemplos e fazer Exercícios cap 6
  3. Escrever funções mostrando como média, mediana e quartis podem ser calculados a partir de minimização de função perda:
    1. para um conjunto de dados
    2. para uma distribuição discreta
    3. para uma distribuição contínua

09/04

  1. Fazer um código (com operações matriciais) para os cálculos do Exemplo 1. O código deve permitir definir diferentes prioris e verossimilhanças. Experimentar com valores diferentes do exemplo.
  2. Especificar valores para os hiperparâmetros p e q no Exemplo 2 e simular um conjunto de dados. Obter a posteriori e maginais. Fazer gráficos conjuntos e marginais da priori e posteriori.
  3. No Exemplo 3 obter a marginal Latex e a posteriori condicional Latex
  4. Ainda no exemplo 3 definir os hiperparâmetros de obter uma simulação de dados do modelo
  5. Com os dados simulados obter as expressões da posteriori conjunta, marginais (do material) e condicional conjunta (item anterior)
  6. Obter uma simulação da posteriori. Comparar a conjunta e marginais teórica e simulada.

16/04

  1. Para os exemplos e exercícios do Cap 6, obter a preditiva pelas 3 formas discutidas em aula. Escrever códigos que mostrem e comparem as preditivas (simlar ao visto em aula)
  2. Experimentar diferentes
  3. Segue código visto para ex 6.1
    ## Exercício 6.1
    ## Adicional:
    ## Seja uma amostra 7,5,8,9,3
    ## n=5 , soma = 33
    ## Seja a priori G(2, 2)
    ## A posteriori é G(2+33, 2+5) 
    ## A preditiva analítica é BN(2+33, (2+5)/(2+5+1))
     
    ## 1. Obtendo 1 simulação da preditiva
    ## Passo 1: simula valor do parâmetro da posteriori
    th <- rgamma(1, 35, 7)
    ## Passo 2: simula valor predito da verossimilhança 
    yp <- rpois(1, lam=th)
     
    ## 2. Obtendo 1000 simulações da preditiva
    ## Passo 1: simula valores do parâmetro da posteriori
    th <- rgamma(1000, 35, 7)
    ## Passo 2: simula valores predito da verossimilhança 
    yp <- rpois(1000, lam=th)
     
    ## Preditiva estimada por simulação
    table(yp)
    yp.sim <- table(yp)/1000
     
    ## Preditiva exata
    yp.teo <- dnbinom(0:14, size=35, prob=7/8)
     
    ## comparando 
    rbind(yp.sim, yp.teo)
    ## Pode-se aumentar o número de simulações para uma melhor predição
    th <- rgamma(1000, 35, 7)
    th <- rgamma(10000, 35, 7)
    yp <- rpois(10000, lam=th)
    yp.sim <- table(yp)/10000
    yp.teo <- dnbinom(0:max(yp), size=35, prob=7/8)
    rbind(yp.sim, yp.teo)
     
    ## Gráficos
    ## preditiva teórica (analítica)
    plot((0:17)-0.05, yp.teo, type="h")
    ## simulação da preditiva
    lines((0:17)+0.05, yp.sim, type="h", col=2)
    ## preditiva não bayesiana (plug-in)
    yp.nonB <- dpois(0:17, lam=33/5)
    lines((0:17)+0.15, yp.nonB, type="h", col=4)
    ## aproximação normal da preditiva
    curve(dnorm(x, m=5, sd=sqrt(5+35/49)), add=T)

18/04

Código visto em aula

##
## Inferência na distribuição normal
##
## Conjunta:
##f(\mu, \sigma^2|y) = (\sigma^2)^{\frac{n}{2}-1} \exp\left{-\frac{1}{2\sigma^2} (S^2 + n(\theta - \overline{y})) \right\}
##
## Condicionais
##    [\mu|\sigma^2, y] \sim {\rm N}(\overline{y}, \sigma^2/n)
##    [\sigma^2|\mu, y] \sim {\rm IG}(\frac{n}{2}, \frac{2}{A})
##
## Marginais
##    [\mu|y] \sim {\rm t}_{n-1}(\overline{y}, S^2/n)
##    \frac{\mu - \overline{y}}{\sqrt{sigma^2/n}} \sim {\rm t}_{n-1}
##    
##    [\sigma^2|y] \sim {\rm IG}(\frac{n-1}{2}, \frac{2}{S^2})
##    \frac{S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}
##    
##    S^2 = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \overline{y})^2
##    A = S^2 + n(\theta - \overline{y})^2
 
## Nos códigos abaixo S^2 é denotado por SQ
set.seed(20180419)
(y <- rnorm(12, mean=50, sd=8))
dados <- list(n=length(y), m=mean(y), v = var(y), SQ = sum((y-mean(y))^2))
##
## Amostra (exata) da posteriori
##
## para amostrar de pode-se explorar a fatoração:
## [\mu, \sigma^2|y] = [\sigma^2|y] \cdot [\mu|\sigma^2,y] = 
## ou, alternativamente
## [\mu, \sigma^2|y] = [\mu|y] \cdot [\sigma^2|\mu,y] = 
##
## Vamos adotar aqui a primeira fatoração:
## Obtendo uma amostra
##  (i) Amostrar \sigma^2 de [\sigma^2|y]
(sigma2.sim <- with(dados, 1/rgamma(1, shape=(n-1)/2, scale=2/SQ)))
## (ii) Amostrar \mu de [\mu |\sigma^2,y]
(mu.sim <- with(dados, rnorm(1, mean=m, sd=sqrt(sigma2.sim/n))))
## Obtendo 25.000 amostras
N <- 25000
sigma2.sim <- with(dados, 1/rgamma(N, shape=(n-1)/2, scale=2/SQ))
mu.sim <- with(dados, rnorm(N, mean=m, sd=sqrt(sigma2.sim/n)))
 
## Gráficos das amostras (correespondem às marginais)
par(mfrow=c(1,2))
t.sim <- with(dados, (mu.sim - m)/sqrt(v/n))
curve(dt(x, df=dados$n-1), from=-4, to=4)
lines(density(t.sim), col=4)
## note a diferença para uma distribuição normal:
curve(dnorm(x), from=-4, to=4, col=2, lty=3, add=TRUE)
 
chi.sim <- with(dados, SQ/sigma2.sim)
curve(dchisq(x, df=dados$n-1), from=0, to=40)
lines(density(chi.sim), col=4)
 
##
## Amostra (Gibbs) da posteriori
##
## A estratégia de Gibbs é alternar as simulações entre **as distribuições condicionais**
## o que "parece" errado ,as provou-se que a cadeia de valores assim simulados **converge** para a distribuição conjunta 
##    [\mu|\sigma^2, y] \sim {\rm N}(\overline{y}, \sigma^2/n)
##    [\sigma^2|\mu, y] \sim {\rm IG}(\frac{n}{2}, \frac{2}{A})
## Obtendo uma amostra
## Como a distribuição de um parâmetro depende da distribuição do outro, 
## é necessário fornecer/arbitrar um valor para inicial o algoritmo
mu0 <- 50
##  (i) Amostrar \sigma^2 de [\sigma^2|\mu, y]
A <- with(dados, SQ + n*(mu0 - m)^2)
(sigma2.simG <- with(dados, 1/rgamma(1, shape=n/2, scale=2/A)))
## (ii) Amostrar \mu de [\mu |\sigma^2,y]
(mu.simG <- with(dados, rnorm(1, mean=m, sd=sqrt(sigma2.sim/n))))
 
## Gerando agora 25.000 amostras
N <- 25000
mu.simG <- sigma2.simG <- numeric(N)
mu.simG[1] <- 30
sigma2.simG[1] <- 100
 
{
for(i in 2:N){
    A <- with(dados, SQ + n*(mu.simG[i-1]-m)^2)
    sigma2.simG[i] <- with(dados, 1/rgamma(1, shape=n/2, scale=2/A))
    mu.simG[i] <- with(dados, rnorm(1, mean=m, sd=sqrt(sigma2.simG[i]/n)))
 }
}
 
plot(mu.simG, type="l")
plot(mu.simG[-(1:1000)], type="l")
 
plot(sigma2.simG, type="l")
plot(sigma2.simG[-(1:1000)], type="l")
 
plot(log(sigma2.simG), type="l")
plot(log(sigma2.simG[-(1:1000)]), type="l")
 
par(mfrow=c(1,2))
t.sim <- with(dados, (mu.sim - m)/sqrt(v/n))
curve(dt(x, df=dados$n-1), from=-4, to=4)
lines(density(t.sim), col=4)
##curve(dnorm(x), from=-4, to=4, col=2, add=TRUE)
t.simG <- with(dados, (mu.simG - m)/sqrt(v/n))
lines(density(t.simG), col=3, lwd=2)
 
chi.sim <- with(dados, SQ/sigma2.sim)
curve(dchisq(x, df=dados$n-1), from=0, to=40)
lines(density(chi.sim), col=4)
chi.simG <- with(dados, SQ/sigma2.simG)
lines(density(chi.simG), col=3, lwd=2)

23/04

  1. Implementar modelo semelhante ao visto em aula porém com log(lambda ~Normal). (ver detalhes na versão revisada do Cap 8 do material do curso.
  2. Implementar a regressão linear via algoritmo de Gibbs. Usar dados simulados de uma regressão linear simples. Incluir amostras da preditiva no algoritmo
  3. Código para o modelo visto em aula:
    ## Simulando dados do modelo sendo estudado
    set.seed(2018)
    ctes <- list(a=3, c=2.5, d=0.8, n=50)
    with(ctes, EVIG(c, d))
    betas <- with(ctes, 1/rgamma(n, shape=c, scale=d))
    c(mean(betas),var(betas))
    lambdas <- with(ctes, rgamma(n, shape=a, rate=betas))
    (ctes$y <- rpois(ctes$n, lambda=lambdas))
    with(ctes, c(media=mean(y), var=var(y)))
    with(ctes, plot(prop.table(table(y)), type="h", ylim=c(0,0.3)))
    with(ctes,lines((0:max(y))+0.1, dpois(0:max(y), lambda=mean(y)), type="h", col=2))
    ##
    ## Iniciando inferência a ser feita via amostrador de Gibbs 
    ##
    ctes$sumY <- sum(ctes$y)
    ##
    N <- 11000  # número de simulação no algorítmo
    B <- 1000   # bunr-in - amostras s serem descartadas no início da cadeia
    beta.sam <- lambda.sam <- numeric(N) 
    beta.sam[1] <- lambda.sam[1] <- 10
    {
        for(i in 2:N){
            beta.sam[i] <- with(ctes, 1/rgamma(1, shape=a+c, scale=d/(d*lambda.sam[i-1]+1)))
            lambda.sam[i] <- with(ctes, rgamma(1, shape=ctes$a+sumY, scale=beta.sam[i]/(n*beta.sam[i]+1)))
        }
    }
     
    ## Explorando simulações
    par(mfrow=c(2,1))
    plot(beta.sam, type="l")
    plot(lambda.sam, type="l")
    ## retirando amostras consideradas aquecimento
    beta.sam <- beta.sam[-(1:B)]
    lambda.sam <- lambda.sam[-(1:B)]
    plot(beta.sam, type="l")
    plot(lambda.sam, type="l")
    plot(log(beta.sam), type="l")
    plot(lambda.sam, type="l")
     
    par(mfrow=c(1,2))
    plot(density(beta.sam)); abline(v=mean(betas)); rug(betas)
    plot(density(lambda.sam)); abline(v=mean(lambdas)); rug(lambdas)
    summary(ctes$y)
    summary(betas)
    summary(beta.sam)
    summary(lambdas)
    summary(lambda.sam)
     
    par(mfrow=c(1,2))
    plot(density(beta.sam, from=0, to=5)); abline(v=mean(betas)); rug(betas)
    plot(density(lambda.sam, from=0, to=20)); abline(v=mean(lambdas)); rug(lambdas)

07/05

  1. Atividade 1 (individual ou duplas) Buscar algum pacote do R ou outro programa que permita obter os resultados (analíticos) vistos até aqui no curso. Evitar coincidẽncias entre os escolhidos
  2. Atividade 2 (individual ou duplas) Buscar algum pacote do R ou outro programa que permita obter por simulação resultados pera os exemplos vistos até aqui no curso. Evitar coincidẽncias entre os escolhidos
  3. Atividade 3 (individual ou duplas) Utilizar o recurso visto na Atividade 2 para analizar algum modelo/exemplo não visto no curso. Evitar coincidẽncias entre os escolhidos

14/05

16/05

  1. Coeficiente de correlação intraclasse
    ## Dados simulados do modelo:
    ## Y_{ij} \sim N(\mu_{i}, \sigma^2_y)
    ##     mu_{i} = theta + b_{i}
    ##     b_{i} \sim N(0, \sigma^2_b)
    ## que, por ser normal (com ligação identidade)
    ## pode ser escrito por:
    ## Y_{ij} = \beta_0 + b_{i} + \epsilon_{ij} 
    ##
    ## simulando dados:
    Ngr <-  25
    Nobs <- 10
    set.seed(12)
    sim <- data.frame(id  = Ngr*Nobs,
                      gr  = rep(1:Ngr, each=Nobs),
                      bs  = rep(rnorm(Ngr, m=0, sd=10), each=Nobs),
                      eps = rnorm(Ngr*Nobs, m=0, sd=4)
                      )
    sim <- transform(sim, y = 100 + bs + eps)
    sim
     
    ## estimativas "naive"
    resumo <- function(x) c(media=mean(x), var=var(x), sd=sd(x), CV=100*sd(x)/mean(x))
    (sim.res <- aggregate(y~gr, FUN=resumo, data=sim))
    var(sim.res$y[,1])
    mean(sim.res$y[,2])
    mean(sim$y)
     
    ## A seguir serão obtidas inferências de três formas diferentes:
    ## - ajuste modelo de efeito aleatório (não bayesiano)
    ## - ajuste via JAGS (inferência por simulação da posteriori)
    ## - ajuste via INLA (inferência por aproximação da posteriori)
     
    ##
    ## Modelo de efeitos aleatórios
    ##
    require(lme4)
    fit.lme <- lmer(y ~ 1|gr, data=sim)
    summary(fit.lme)
    ranef(fit.lme)
    coef(fit.lme)$gr - fixef(fit.lme)
    print(VarCorr(fit.lme), comp="Variance")
     
    ## JAGS
    require(rjags)
     
    sim.lst <- as.list(sim[c("gr","y")])
    sim.lst$N <- nrow(sim)
    sim.lst$Ngr <- length(unique(sim$gr))
    mean(sim.lst$y)
     
    cat("model{
        for(j in 1:N){
            y[j] ~ dnorm(mu[gr[j]], tau.e)
         }
        for(i in 1:Ngr){
            mu[i] ~ dnorm(theta, tau.b)
        }
        theta ~ dnorm(0, 1.0E-6)
        tau.b ~ dgamma(0.001, 0.001)
        sigma2.b <- 1/tau.b
        tau.e ~ dgamma(0.001, 0.001)
        sigma2.e <- 1/tau.e
        cci <- sigma2.e/(sigma2.e+sigma2.b)
    }", file="sim.jags")
     
    sim.jags <- jags.model(file="sim.jags", data=sim.lst, n.chains=3, n.adapt=1000)
    ## inits = ...
     
    fit.jags <- coda.samples(sim.jags, c("theta", "sigma2.b", "sigma2.e", "cci"), 10000, thin=10)
     
    summary(fit.jags)
    plot(fit.jags)
     
    ##
    require(INLA)
     
    fit.inla <- inla(y ~ f(gr) , family="gaussian", data=sim)
    summary(fit.inla)
    sqrt(1/fit.inla$summary.hyperpar[,1])

Atividades propostas:

  1. Complementar as análise acima com exploração dos resultados, obtenção de gráficos e resultados de interesse
  2. Ajustar o modelo acima aos dados de:
    Julio M. Singer, Carmen Diva Saldiva de André, Clóvis de Araújo Peres
    Confiabilidade e Precisão na Estimação de Médias
    Revista Brasileira de Estatística, v73, n. 236, jan./jun. 2012.
  3. Identificar e ajustar modelos (não bayesianos, bayesianos por simulação ou aproximados) para dados simulados da seguinte forma:
    set.seed(123456L)
    n <- 50
    m <- 10
    w <- rnorm(n, sd=1/3)
    u <- rnorm(m, sd=1/4)
    b0 <- 0
    b1 <- 1
    idx <- sample(1:m, n, replace=TRUE)
    y <- rpois(n, lambda = exp(b0 + b1 * w + u[idx]

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