CE-003 Turma G - Segundo semestre de 2009

No quadro abaixo será anotado o conteúdo dado em cada aula do curso.
É indicado material para leitura correspondente ao conteúdo da aula nas referências bibliográficas básicas do curso:

• B & M: BUSSAB, W.O. & MORETTIN, P.A. Estatística Básica. 5a Edição, Editora Saraiva
• M & L: MAGALHÃES, M.N.; LIMA, A.C.P. Noções de Probabilidade e Estatística. IME/SP. Editora EDUSP.
• B, R & B: BARBETTA, P.A; REIS, M.M. & BORNIA, A.C. Estatística para cursos de engenharia e informática. Editora Atlas. 2004.

• Leitura recomendada: Resenhas sobre o livro O Andar Bêbado que discute a noção de aleatoriedade e acaso
  • na revista VEJA
  • No jornal Estado de São Paulo

1. O problema dos aniversários
   Considere o problema de calcular a probabilidade de haver coincidência de aniversários em um grupo de pessoas.
   • qual a probabilidade em um grupo de 30 pessoas?
   • quantas pessoas precisamos para que a probabilidade supere 0,5?
   • quantas pessoas precisamos para que a probabilidade supere 0,8?
   • quantas pessoas precisamos para que a probabilidade supere 0,99?
   • quantas pessoas precisamos para ter certeza de que haverá concidências?
   • quantas pessoas precisamos para ter quase certeza de que haverá concidências?
   • faça um gráfico relacionando a probabilidade com o número de pessoas.
     OBS: considere duas formas de obter as respostas: (i) por dedução analítica, (ii) por um experimento/simulação/algorítmo computacional
2. Four versus quina na sena
   Qual o evento mais provável, obter um four (quatro cartas iguais em uma mão de 5 cartas, em um baralho de 52 cartas) ou fzar uma quinta na sena, ou seja, acertar 5 dos 6 números sorteados?
3. O problema dos ases
   Considere uma mão de 5 cartas extraídas ao acaso de uma baralho com 52 cartas. Compare probabilidades/chances de obter ao menos dois ases nas situações a seguir. Voce acha que as chances são iguais ou diferentes? Se diferentes, em qual situação há maiores chances?
   • sabendo que uma das cartas é um ás de copas
   • sabendo que uma das cartas é um ás qualquer
4. O problema dos envelopes - I
   Considere que cartas nominais aos destinatários são colocadas aleatoriamente em envelopes também com o destinatário.
   • de quantas formas diferentes 5 cartas podem ser colocadas em 5 envelopes?
   • qual a probabilidade de se enviar corretamente todas as cartas?
   • idem anteriores para 10 cartas e envelopes.
   • considere que desejamos verificar todas as possíveis alocações de cartas nos envelopes e que para cada verificação gastamos 1 segundo. Quanto tempo seria necessário para inspecionar tos as possibilidadesse tivermos 5, 10, 15 ou 20 cartas
5. O problema dos envelopes - II
   Reavalie o problema anterior sob a condição que desejamos que ao menos 3/5 das cartas sejam corretamente enviadas.

• Algumas linhas de código (em linguagem R) para o problema dos aniversários (apenas para ilustração dos conceitos, não otimizadas!!!!)
  • Solução analítica

# probabilidade para 30 pessoas
> 1 - 1 - (prod(364:(365-29))/365^29)
# uma função genérica
> prob.aniver <- function(n, N) 1 - (prod((N-n+1):(N-1))/(365^(n-1)))
> prob.aniver(23, 365)
# uma função mais adequada numericamente
> prob.aniver1 <- function(n, N) 1 - prod((N-n+1):(N-1)/N)  
> prob.aniver1(23, 365)
> prob.aniver(10, 365)
[1] 0.1169482
> prob.aniver1(366, 365)
[1] 1
# gráficos
> plot(2:366, sapply(2:366, prob.aniver1, N=365))
> plot(2:366, sapply(2:366, prob.aniver1, N=365), ty="l", xlab="Número de Pessoas", ylab="Probabilidade de Concidência")

• Solução (aproximada) por simulação (código apenas para exemplo – ineficiente!!!)

## exemplo de uma simulação
> am <- sample(1:365, 23, rep=T)
> am
> duplicated(am)
> any(duplicated(am))
## agora escrevendo uma função que permita fazer várias simulações
> prob.est <- function(n, N, Nsim){
  nc <- 0
 for(i in 1:Nsim)
 if(any(duplicated(sample(1:N, n, rep=T)))) nc <- nc+1
 return(nc/Nsim)
 }
> prob.est <- prob.est(23, 365, 100000) ## repetir este comando algums vezes e observer os resultados

1. Instalar o programa R e experimentar os comandos acima.
2. Considere uma família de dois filhos
   • qual a probabilidade de ao menos um deles ser do sexo masculino?
   • sabendo que um deles é do sexo masculino, qual a probabilidade do outro também ser do sexo masculino?
   • voce foi visitar a família (sem saber os sexo dos filhos). O filho que abriu a porta é do sexo masculino. Qual a probabilidade do outro também ser do sexo masculino?
   • Reflita sobre as probabilidades dos dois ítens anteriores: são iguais ou diferentes? por que?

Considere o problema da carta premiada: Um apresentador mostra três cartas a um jogador. Apenas uma delas é premiada. O jogador escolhe uma carta que é mantida "fechada". Depois disto o apresentador mostra uma carta não premiada entre as duas restantes. Na seqüência pergunta ao jogador se ele quer ou não trocar a carta que escolheu antes de revelar a escolhida para verificar se ganho ou não o prêmio.

• O jogador deve ou não trocar a carta, ou a troca é indiferente? Justifique a resposta.
• Examine o problema acima por simulacão. Escreva um programa computacional para verificar se existe alguma estratégia mais vantajosa para o jogador.

• arquivo de comandos mostrados em aula
• Página mostrado modelos de análises para diferentes tipos de variáveis.

• funções de verossimilhança

• Soluções computacionais
  • Cap 8, Sec 8.3: 1

diff(pt(c(-3.365, 3.365), df=5))
diff(pt(c(-1.4, 1.4), df=8))
diff(pt(c(-1.1, 2.15), df=14))
qt(0.98, df=9)
qt(0.05, df=16)
qt(0.95, df=11)
qt(0.975, df=21)

• Cap 8, Sec 8.5: 1

pchisq(14.7, df=7, lower=FALSE)
pchisq(39, df=23, lower=FALSE)
pchisq(9, df=12)
diff(pchisq(c(12, 30.2),df=17))
qchisq(0.95, df=13)
qchisq(0.99, df=4)
qchisq(0.95, df=21)